Nas partes
, determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
(d) Uma equação linear só, com duas ou mais incógnitas, sempre deve ter uma infinidade de soluções. ( )
(d) Uma equação linear só, com duas ou mais incógnitas, sempre deve ter uma infinidade de soluções. ( )
Passo 1
O enunciado diz que temos uma única equação linear em duas ou mais incógnitas e afirma que ela “sempre” tem infinitas soluções. O conteúdo aqui é teoria de sistemas lineares, em particular a possibilidade de um sistema ter solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução.
Passo 2
Uma equação linear genérica em duas incógnitas
e
pode ser escrita como
onde
são constantes. Se
, o conjunto de soluções é uma reta no plano, ou seja, normalmente infinito, pois podemos parametrizar, por exemplo,
quando
, ou simetricamente se
.
Passo 3
Porém, se todos os coeficientes das incógnitas forem zero, isto é,
e
, a equação fica
– Se
, a equação leva a
, o que é impossível, logo não há nenhuma solução.
– Se , a equação é
, que vale para qualquer par
, e aí há infinitas soluções.
– Se
Resposta
A afirmação é falsa. Uma única equação com duas ou mais incógnitas pode não ter solução (caso
) ou pode ter infinitas soluções, mas não “sempre” infinitas.