Nas partes (a)-(h), determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
(d) Uma equação linear só, com duas ou mais incógnitas, sempre deve ter uma infinidade de soluções. ( )

Passo 1

O enunciado diz que temos uma única equação linear em duas ou mais incógnitas e afirma que ela “sempre” tem infinitas soluções. O conteúdo aqui é teoria de sistemas lineares, em particular a possibilidade de um sistema ter solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução.

Passo 2

Uma equação linear genérica em duas incógnitas x e y pode ser escrita como
a x + b y = c,
onde a,b,c são constantes. Se (a,b)neq(0,0), o conjunto de soluções é uma reta no plano, ou seja, normalmente infinito, pois podemos parametrizar, por exemplo,
x = t, y = c - a,tb(tinR),
quando bneq0, ou simetricamente se aneq0.

Passo 3

Porém, se todos os coeficientes das incógnitas forem zero, isto é, a=0 e b=0, a equação fica
0cdot x + 0cdot y = c Longrightarrow 0 = c
– Se cneq0, a equação leva a 0=c, o que é impossível, logo não há nenhuma solução.
– Se c=0, a equação é 0=0, que vale para qualquer par (x,y), e aí há infinitas soluções.

Resposta

A afirmação é falsa. Uma única equação com duas ou mais incógnitas pode não ter solução (caso 0x+0y=constanteneq0) ou pode ter infinitas soluções, mas não “sempre” infinitas.

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