Nas partes
, determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
Se cada equação de um sistema linear possível for multiplicada por uma constante
, então todas as soluções do novo sistema podem ser obtidas multiplicando as soluções do sistema original por
( )
Passo 1
O enunciado fala de um sistema linear qualquer, digamos
e propõe multiplicar cada equação por uma constante
, obtendo o novo sistema
A afirmação a testar é: “todas as soluções do sistema novo podem ser obtidas multiplicando por
as soluções do sistema original”.
Passo 2
Mostremos primeiro a relação entre as soluções do sistema original e do sistema escalonado. Se
satisfaz
então multiplicando ambos os lados por
segue
portanto
também é solução do sistema escalonado.
Passo 3
Reciprocamente, se
e
satisfaz
podemos dividir ambos os lados por
e obter
logo
é solução do sistema original. Concluímos que, para
, os dois sistemas têm exatamente o mesmo conjunto de soluções, não havendo multiplicação dos vetores-solução por
.
Passo 4
Para deixar claro que não se “multiplica a solução por
”, veja um contraexemplo bem simples. O sistema
tem única solução
. Multiplicando a equação por
obtemos
cuja única solução continua sendo
. Se alguém achasse que a nova solução seria
, ela falharia:
.
Resposta
Falsa.