Nas partes (a)-(h), determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
(f) Se cada equação de um sistema linear possível for multiplicada por uma constante c, então todas as soluções do novo sistema podem ser obtidas multiplicando as soluções do sistema original por c ( )

Passo 1

O enunciado fala de um sistema linear qualquer, digamos
A x = b,
e propõe multiplicar cada equação por uma constante c, obtendo o novo sistema
cA x = c b
A afirmação a testar é: “todas as soluções do sistema novo podem ser obtidas multiplicando por c as soluções do sistema original”.

Passo 2

Mostremos primeiro a relação entre as soluções do sistema original e do sistema escalonado. Se x satisfaz
A x = b,
então multiplicando ambos os lados por c segue
cA x = c b,
portanto x também é solução do sistema escalonado.

Passo 3

Reciprocamente, se c neq 0 e x satisfaz
c A x = c b,
podemos dividir ambos os lados por c e obter
A x = b,
logo x é solução do sistema original. Concluímos que, para c neq 0, os dois sistemas têm exatamente o mesmo conjunto de soluções, não havendo multiplicação dos vetores-solução por c.

Passo 4

Para deixar claro que não se “multiplica a solução por c”, veja um contraexemplo bem simples. O sistema
x = 2
tem única solução x=2. Multiplicando a equação por c=3 obtemos
3x = 6,
cuja única solução continua sendo x=2. Se alguém achasse que a nova solução seria 3 cdot 2=6, ela falharia: 3 cdot 6=18 neq 6.

Resposta

Falsa.

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