Considere o subconjunto de vetores beta=(1,1,-2),(1,-1,0),(1,1,1).
Quais são as coordenadas dos vetores canônicos e1, e2 e e3 em relação à base beta?

Passo 1

O enunciado dá a base beta=v1,v2,v3 em R^3, com
v1=(1,1,-2), v2=(1,-1,0), v3=(1,1,1),
e pede as coordenadas dos vetores canônicos
e1=(1,0,0), e2=(0,1,0), e3=(0,0,1)
na base beta. Para cada ek vamos achar os escalares (a,b,c) tais que
a,v1+b,v2+c,v3=ek

Passo 2

Escrevendo isso em forma de sistema linear, denotando os coeficientes em , temos a matriz
de modo que
onde são as componentes de . Vamos resolver esse sistema para .

Passo 3

Para
Da terceira equação obtém-se , , .

Passo 4

Para
De novo leva a , , .

Passo 5

Para
Das duas primeiras vem . Substituindo na terceira:
, , .

Resposta

As coordenadas de e1,e2,e3 em beta são, respectivamente:
l[!e1r]beta = l(tfrac16,,tfrac12,,tfrac13r), l[!e2r]beta = l(tfrac16,,-tfrac12,,tfrac13r), l[!e3r]beta = l(-tfrac13,,0,,tfrac13r)

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