Dada a matriz A=(cccc1 & -1 & 0 & 2 0 & 1 & x & -y 0 & 0 & y+1 & x-1 0 & 0 & y & x), determine x, y in R tais que det(A)=1 e x^2-y^2=0.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = 1 & -1 & 0 & 2 0 & 1 & x & -y 0 & 0 & y+1 & x-1 0 & 0 & y & x
e pede x,yinR tais que det(A)=1 e x^2 - y^2 = 0. O conteúdo principal é que A é triangular por blocos, então vamos usar que o determinante de uma matriz triangular é o produto dos seus elementos diagonais, e depois aplicar a condição x^2-y^2=0.

Passo 2

Como A é triangular (todos os elementos abaixo da segunda subdiagonal são zero), temos
det(A) = 1 cdot 1 cdot (y+1)cdot x = x(y+1)
A condição det(A)=1 vira
x(y+1)=1

Passo 3

A outra condição é
x^2 - y^2 = 0,
que fatoriza como
(x - y)(x + y) = 0
Logo ou x = y ou x = -y.

Passo 4

Caso x = y. Substituindo em x(y+1)=1
x(x+1)=1 Longrightarrow x^2 + x - 1 = 0
Resolvendo a equação de segundo grau,
x = -1 pm raiz1 + 42 = -1 pm raiz52,
e como y = x, obtemos duas soluções reais:
l(x,yr) = l(tfrac-1 + raiz52,,tfrac-1 + raiz52r) ou l(tfrac-1 - raiz52,,tfrac-1 - raiz52r)

Passo 5

Caso x = -y. Substituindo em x(y+1)=1
x(-x+1)=1 Longrightarrow -x^2 + x - 1 = 0 Longrightarrow x^2 - x + 1 = 0
O discriminante é De<a = (-1)^2 - 4cdot1cdot1 = -3 < 0, sem soluções reais.

Resposta

As únicas soluções reais são
(x,y) = l(tfrac-1 + raiz52,,tfrac-1 + raiz52r) e (x,y) = l(tfrac-1 - raiz52,,tfrac-1 - raiz52r)

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