Considere o subconjunto de vetores beta=(1,1,0),(0,1,1),(1,0,1).
Encontre a matriz de mudança de coordenadas, A=[I]beta^C, da base canônica C=e1, e2, e3 de R^3 para a base beta. Qual é a matriz de mudança de coordenadas, A^prime=[I]C^beta, da base beta para a base canônica?

Passo 1

O enunciado nos dá duas bases de R^3: a base canônica
C=e1,e2,e3
e a base
beta=v1,v2,v3
com
v1=(1,1,0), v2=(0,1,1), v3=(1,0,1)
Queremos as matrizes de mudança de coordenadas entre essas bases, ou seja
[I]beta^ C
e
[I] C^beta.

Passo 2

Pela definição de matriz de mudança de base, a matriz
[I]beta^ C
(que leva coordenadas em beta para coordenadas em C) tem como colunas os vetores de beta expressos na base canônica.

Passo 3

Colocando v1,v2,v3 como colunas, obtemos
A = [I]beta^ C = 1 & 0 & 1 1 & 1 & 0 0 & 1 & 1

Passo 4

Para achar
[I] C^beta
basta inverter A. Primeiro,
det(A)=2neq0,
então A é invertível. A matriz dos cofatores transposta (adjunta) é
adj(A) = 1 & 1 & -1 -1 & 1 & 1 1 & -1 & 1 ,
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A^-1 = 12,adj(A)

Resposta

A = [I]beta^ C = 1 & 0 & 1 1 & 1 & 0 0 & 1 & 1 , A' = [I] C^beta = A^-1 = 12 1 & 1 & -1 -1 & 1 & 1 1 & -1 & 1

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