Considere o subconjunto de vetores beta=(1,1,0),(0,1,1),(1,0,1).
Quais são as coordenadas dos vetores canônicos e1, e2 e e3 em relação à base beta?

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a base beta=(1,1,0),(0,1,1),(1,0,1) em R^3 e queremos as coordenadas dos vetores canônicos e1,e2,e3 em relação a beta. O conteúdo é mudança de base e vamos precisar montar e resolver sistemas lineares para cada ei.

Passo 2

Para achar as coordenadas em beta, escrevemos um vetor genérico (x,y,z) como combinação linear dos vetores de beta:
(x,y,z)=a,(1,1,0)+b,(0,1,1)+c,(1,0,1)
Comparando as componentes, obtemos o sistema
a + c = x, a + b = y, b + c = z

Passo 3

Para e1=(1,0,0), substituímos (x,y,z)=(1,0,0) no sistema:
a + c = 1, a + b = 0, b + c = 0
Da segunda equação b=-a. Da terceira, -a+c=0 c=a. Na primeira a+a=1 segue a=tfrac12, logo b=-tfrac12 e c=tfrac12. Assim
[e1]beta=l(tfrac12,-tfrac12,tfrac12r)

Passo 4

Para e2=(0,1,0), usamos (x,y,z)=(0,1,0):
a + c = 0, a + b = 1, b + c = 0
Da terceira equação c=-b. Da primeira a-b=0 a=b. Na segunda b+b=1 segue b=tfrac12, logo a=tfrac12 e c=-tfrac12. Assim
[e2]beta=l(tfrac12,tfrac12,-tfrac12r)

Passo 5

Para e3=(0,0,1), substituímos (x,y,z)=(0,0,1):
a + c = 0, a + b = 0, b + c = 1
Da segunda b=-a. Da primeira c=-a. Na terceira -a + (-a)=1 a=-tfrac12, então b=tfrac12 e c=tfrac12. Assim
[e3]beta=l(-tfrac12,tfrac12,tfrac12r)

Resposta

[e1]beta=(tfrac12,-tfrac12,tfrac12), [e2]beta=(tfrac12,tfrac12,-tfrac12), [e3]beta=(-tfrac12,tfrac12,tfrac12)

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