Considere o subconjunto de vetores .
Quais são as coordenadas dos vetores canônicos e em relação à base ?
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos a base em e queremos as coordenadas dos vetores canônicos em relação a . O conteúdo é mudança de base e vamos precisar montar e resolver sistemas lineares para cada .
Passo 2
Para achar as coordenadas em , escrevemos um vetor genérico como combinação linear dos vetores de :
Comparando as componentes, obtemos o sistema
Passo 3
Para e1=(1,0,0), substituímos (x,y,z)=(1,0,0) no sistema:
a + c = 1, a + b = 0, b + c = 0
Da segunda equação b=-a. Da terceira, -a+c=0 dá c=a. Na primeira a+a=1 segue a=tfrac12, logo b=-tfrac12 e c=tfrac12. Assim
[e1]beta=l(tfrac12,-tfrac12,tfrac12r)
Passo 4
Para e2=(0,1,0), usamos (x,y,z)=(0,1,0):
a + c = 0, a + b = 1, b + c = 0
Da terceira equação c=-b. Da primeira a-b=0 dá a=b. Na segunda b+b=1 segue b=tfrac12, logo a=tfrac12 e c=-tfrac12. Assim
[e2]beta=l(tfrac12,tfrac12,-tfrac12r)
Passo 5
Para e3=(0,0,1), substituímos (x,y,z)=(0,0,1):
a + c = 0, a + b = 0, b + c = 1
Da segunda b=-a. Da primeira c=-a. Na terceira -a + (-a)=1 dá a=-tfrac12, então b=tfrac12 e c=tfrac12. Assim