Considere o subconjunto de vetores beta=(1,1,-2),(1,-1,0),(1,1,1).
Encontre a matriz de mudança de coordenadas, A=[I]beta^C, da base canônica C=e1, e2, e3 de R^3 para a base beta. Qual é a matriz de mudança de coordenadas, A^prime=[I]C^beta, da base beta para a base canônica?

Passo 1

O enunciado pede as matrizes de mudança de base em R^3 entre a base canônica C=e1,e2,e3 e a base beta=v1,v2,v3, onde
v1=(1,1,-2), v2=(1,-1,0), v3=(1,1,1)
Para [I]beta^C usamos que suas colunas são as coordenadas de v1,v2,v3 na base canônica. Para [I]C^beta basta inverter essa matriz.

Passo 2

Construímos
A = [I]beta^C = 1 & 1 & 1 1 & -1 & 1 -2 & 0 & 1 ,
cuja coluna j é o vetor vj escrito em C.

Passo 3

Calculamos det(A)=-6 e o adjugado de A. Logo
A^-1 =1-6 -1 & -1 & 2 -3 & 3 & 0 -2 & -2 & -2 = 16 & 16 & -13 12 & -12 & 0 13 & 13 & 13
Esse A^-1 é exatamente [I]C^beta.

Resposta

A=[I]beta^C = 1 & 1 & 1 1 & -1 & 1 -2 & 0 & 1 , A'=[I]C^beta = 16 & 16 & -13 12 & -12 & 0 13 & 13 & 13

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