Considere os subconjuntos do R^2 abaixo: I. (1,5),(1,2). II. (1,3),(3,9) III. (2,1),(1,2) É(São) Base(s) do R^2

Passo 1

O enunciado apresenta três subconjuntos de R^2, cada um com dois vetores, e pergunta quais formam base de R^2. Em R^2, um par de vetores forma base se e somente se for linearmente independente, o que para dois vetores (a,b) e (c,d) equivale a
det = a,d - b,c neq 0

Passo 2

Para I, temos os vetores (1,5) e (1,2). O determinante é
det = 1cdot2 - 5cdot1 = 2 - 5 = -3
Como -3neq0, são linearmente independentes e portanto formam base.

Passo 3

Para II, temos (1,3) e (3,9). O determinante é
det = 1cdot9 - 3cdot3 = 9 - 9 = 0
Como é zero, são linearmente dependentes e não formam base.

Passo 4

Para III, os vetores são (2,1) e (1,2). O determinante é
det = 2cdot2 - 1cdot1 = 4 - 1 = 3
Como 3neq0, são linearmente independentes e formam base.

Resposta

Os subconjuntos I e III são bases de R^2; II não é.

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