Considere os subconjuntos do R^2 abaixo: I. (1,5),(1,2). II. (1,3),(3,9) III. (2,1),(1,2) É(São) Base(s) do R^2: e) Apenas I e III

Passo 1

O enunciado pede para verificar quais dos subconjuntos
(1,5),(1,2), (1,3),(3,9) e (2,1),(1,2) são bases de R^2.
Para isso, como cada conjunto tem exatamente dois vetores em R^2, basta checar se esses vetores são linearmente independentes, o que equivale a calcular o determinante da matriz formada por eles e ver se é diferente de zero.

Passo 2

Analisando o conjunto I: (1,5),(1,2).
O determinante é
detl[(1,5),(1,2)r] =1cdot2 - 1cdot5 = 2 - 5 = -3 neq 0
Logo, os vetores são linearmente independentes e I é uma base de R^2.

Passo 3

Analisando o conjunto II: (1,3),(3,9).
O determinante é
detl[(1,3),(3,9)r] =1cdot9 - 3cdot3 = 9 - 9 = 0
Como o determinante é zero, os vetores são linearmente dependentes e II não é base.

Passo 4

Analisando o conjunto III: (2,1),(1,2).
O determinante é
detl[(2,1),(1,2)r] =2cdot2 - 1cdot1 = 4 - 1 = 3 neq 0
Portanto, os vetores são independentes e III é base de R^2.

Resposta

Apenas I e III.

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