Considere a transformação linear T: R^4 R^4, T(x, y, z, t)=(x+2 y+3 z+4 t,-y+2 z+3 t,-z+2 t, t). Determine o polinômio característico, os autovalores e as multiplicidades algébricas para a matriz A.

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
TcolonR^4toR^4 definida por
T(x,y,z,t) = (,x + 2y + 3z + 4t,,-y + 2z + 3t,,-z + 2t,;t,)
O conteúdo aqui é caracterização de autovalores via polinômio característico de uma matriz. Para resolver, vamos:
  1. Escrever a matriz A de T na base canônica.
  2. Calcular det(A-lambda I) usando o fato de A ser triangular.
  3. Extrair o polinômio característico, os autovalores e suas multiplicidades algébricas.

Passo 2

Na base canônica e1,e2,e3,e4, T envia
e1mapsto (1,0,0,0), e2mapsto (2,-1,0,0), e3mapsto (3,2,-1,0), e4mapsto (4,3,2,1)
Logo a matriz de T é triangular superior:
A = 1 & 2 & 3 & 4 0 & -1 & 2 & 3 0 & 0 & -1 & 2 0 & 0 & 0 & 1

Passo 3

Para achar o polinômio característico, consideramos
A - lambda I = 1-lambda & 2 & 3 & 4 0 & -1-lambda & 2 & 3 0 & 0 & -1-lambda & 2 0 & 0 & 0 & 1-lambda
Como é triangular,
det(A-lambda I) = (1-lambda),(-1-lambda),(-1-lambda),(1-lambda)

Passo 4

Reagrupando, temos
det(A-lambda I) = (1-lambda)^2,(-1-lambda)^2
Podemos reescrever (-1-lambda) = -(lambda+1), mas o sinal menos ao quadrado some, de modo que
boxedchiA(lambda) = (1-lambda)^2(lambda+1)^2
Expandido, dá
chiA(lambda) = (lambda-1)^2(lambda+1)^2 = lambda^4 - 2lambda^2 + 1

Passo 5

Os fatores lineares mostram os autovalores e suas multiplicidades algébricas:
  • lambda=1 é raiz de multiplicidade algébrica 2.
  • lambda=-1 é raiz de multiplicidade algébrica 2.

Resposta

Polinômio característico:
chiA(lambda) = (lambda-1)^2(lambda+1)^2 = lambda^4 - 2lambda^2 + 1
Autovalores e multiplicidades algébricas:
lambda = 1 (mu< alg 2), lambda = -1 (mu< alg 2)

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