Considere a transformação linear
. Determine o polinômio característico, os autovalores e as multiplicidades algébricas para a matriz
.
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear
definida por
O conteúdo aqui é caracterização de autovalores via polinômio característico de uma matriz. Para resolver, vamos:
- Escrever a matriz
de na base canônica. - Calcular
usando o fato de ser triangular. - Extrair o polinômio característico, os autovalores e suas multiplicidades algébricas.
Passo 2
Na base canônica
,
envia
Logo a matriz de
é triangular superior:
Passo 3
Para achar o polinômio característico, consideramos
Como é triangular,
Passo 4
Reagrupando, temos
Podemos reescrever
(-1-lambda) = -(lambda+1) , mas o sinal menos ao quadrado some, de modo que
Expandido, dá
Passo 5
Os fatores lineares mostram os autovalores e suas multiplicidades algébricas:
-
é raiz de multiplicidade algébricalambda=1 .2 -
é raiz de multiplicidade algébricalambda=-1 .2
Resposta
Polinômio característico:
Autovalores e multiplicidades algébricas: