Considere os subconjuntos do R^2 abaixo: I. (1,5),(1,2). II. (1,3),(3,9) III. (2,1),(1,2) É(São) Base(s) do R^2: b) Apenas II

Passo 1

O enunciado dá três subconjuntos de R^2 com exatamente dois vetores cada. Para saber se um par de vetores forma base de R^2 basta verificar se são linearmente independentes. No plano, isso equivale a calcular o determinante da matriz que tem esses vetores como colunas (ou linhas) e checar se ele é diferente de zero.

Passo 2

Para o conjunto I com vetores (1,5) e (1,2), montamos a matriz cujas colunas são esses vetores e calculamos
det 1 & 1 5 & 2 =1cdot2-1cdot5=2-5=-3neq0
Como o determinante é não nulo, esses vetores são linearmente independentes e, portanto, formam base de R^2.

Passo 3

Para o conjunto II com vetores (1,3) e (3,9), temos
det 1 & 3 3 & 9 =1cdot9-3cdot3=9-9=0
Determinante zero indica dependência linear, logo não é base de R^2.

Passo 4

Para o conjunto III com vetores (2,1) e (1,2), calculamos
det 2 & 1 1 & 2 =2cdot2-1cdot1=4-1=3neq0
Determinante não nulo implica independência linear, portanto formam base de R^2.

Resposta

Os subconjuntos que são base de R^2 são I e III.

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