Considere os subconjuntos do abaixo: I. . II. III. É(São) Base(s) do : b) Apenas II
Passo 1
O enunciado dá três subconjuntos de com exatamente dois vetores cada. Para saber se um par de vetores forma base de basta verificar se são linearmente independentes. No plano, isso equivale a calcular o determinante da matriz que tem esses vetores como colunas (ou linhas) e checar se ele é diferente de zero.
Passo 2
Para o conjunto I com vetores e , montamos a matriz cujas colunas são esses vetores e calculamos
Como o determinante é não nulo, esses vetores são linearmente independentes e, portanto, formam base de R^2.
Passo 3
Para o conjunto II com vetores (1,3) e (3,9), temos
det 1 & 3 3 & 9 =1cdot9-3cdot3=9-9=0
Determinante zero indica dependência linear, logo não é base de R^2.
Passo 4
Para o conjunto III com vetores (2,1) e (1,2), calculamos
det 2 & 1 1 & 2 =2cdot2-1cdot1=4-1=3neq0
Determinante não nulo implica independência linear, portanto formam base de R^2.