Considere os subconjuntos do R^2 abaixo: I. (1,5),(1,2). II. (1,3),(3,9) III. (2,1),(1,2) É(São) Base(s) do R^2: a) Apenas I

Passo 1

Beleza, o enunciado nos dá três conjuntos com dois vetores cada e pede para identificar quais são base de R^2. Em R^2, dois vetores formam base se não forem múltiplos um do outro, o que equivale a dizer que o determinante da matriz que os tem como colunas é diferente de zero.

Passo 2

Para dois vetores (a1,a2) e (b1,b2), o determinante é dado por
det = a1,b2 ;-; a2,b1
No conjunto I temos (1,5) e (1,2), então
detI = 1cdot2 - 5cdot1 = 2 - 5 = -3 neq 0,
logo I é base de R^2.

Passo 3

No conjunto II temos (1,3) e (3,9). Calculando,
detII = 1cdot9 - 3cdot3 = 9 - 9 = 0,
logo II não é base de R^2.

Passo 4

No conjunto III temos (2,1) e (1,2). Calculando,
detIII = 2cdot2 - 1cdot1 = 4 - 1 = 3 neq 0,
logo III é base de R^2.

Passo 5

Concluímos que os subconjuntos que formam base de R^2 são I e III.

Resposta

I e III.

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