O Subespaço gerado pelas matrizes A=[ll2 & 1 0 & 1], B=[ll1 & 0 2 & 4] e C=[cc1 & 2 -1 & 3] é equivalente a: S=[llx & y z & t] in M(2 times 2) / 3 x+13 y-17 z-12 t=0

Passo 1

Estamos em , que é isomorfo a pela base canônica
Cada matriz vira o vetor em . Queremos achar a equação linear que define o subespaço gerado por

Passo 2

Para descrever o subespaço spanA,B,C como solução de uma equação, buscamos um vetor normal
w=(a,b,c,d)inR^4
tão que
wcdot A=0, wcdot B=0, wcdot C=0
Isto garante que w seja ortogonal a todo vetor do subespaço e assim define a equação a x+b y+c z+d t=0.

Passo 3

Escrevendo as condições:
2a +1b +0c +1d = 0, 1a +0b +2c +4d = 0, 1a +2b -1c +3d = 0
Da primeira obtemos b=-d-2a. Da segunda, a=-2c-4d. Substituindo em 1a+2b-c+3d=0
(-2c-4d)+2(-d-2a)-c+3d=0 ;Longrightarrow; 5c+13d=0 ;Longrightarrow; c=-tfrac135d
Logo
a=-2l(-tfrac135dr)-4d=tfrac65d, b=4c+7d=4l(-tfrac135dr)+7d=-tfrac175d

Passo 4

Escolhendo d=5 para limpar frações, um normal conveniente é
w=(6,-17,-13,5)
Portanto o subespaço gerado por A,B,C é exatamente
(x,y,z,t)inR^4mid 6x-17y-13z+5t=0,
ou, voltando a M2times2,

Resposta

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