Considere a transformação linear T: R^4 R^4, T(x, y, z, t)=(x+2 y+3 z+4 t,-y+2 z+3 t,-z+2 t, t). Esta transformação linear é bijetora? Justifique.

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
Tcolon R^4toR^4, T(x,y,z,t) = (,x+2y+3z+4t,,-y+2z+3t,,-z+2t,,t),
Precisamos decidir se T é bijetora. Num contexto de transformações lineares entre espaços de mesma dimensão finita, basta mostrar que T é invertível, o que equivale a det Tneq0 ou a ker T=0.

Passo 2

Vamos escrever a matriz de na base canônica . Como
a matriz associada é

Passo 3

Note que M é triangular superior. O determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal. Logo
det M = (1)cdot(-1)cdot(-1)cdot(1) = 1 neq 0

Passo 4

Como det Mneq0, a transformação T é invertível. Transformação linear invertível em R^4 é simultaneamente injetora e sobrejetora, isto é, bijetora.

Resposta

Sim, T é bijetora, pois sua matriz tem determinante igual a 1, logo é invertível.

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