Considere a transformação linear . Esta transformação linear é bijetora? Justifique.
Passo 1
O enunciado define a transformação linear
Precisamos decidir se é bijetora. Num contexto de transformações lineares entre espaços de mesma dimensão finita, basta mostrar que é invertível, o que equivale a ou a .
Passo 2
Vamos escrever a matriz de na base canônica . Como
a matriz associada é
Passo 3
Note que M é triangular superior. O determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal. Logo
det M = (1)cdot(-1)cdot(-1)cdot(1) = 1 neq 0
Passo 4
Como det Mneq0, a transformação T é invertível. Transformação linear invertível em R^4 é simultaneamente injetora e sobrejetora, isto é, bijetora.
Resposta
Sim, T é bijetora, pois sua matriz tem determinante igual a 1, logo é invertível.