Qual dos Subconjuntos do Espaço Vetorial V=R^3 Não é um Subespaço de V=R^3 ? D) S=(x, y, z) in R^3 / x=3 z

Passo 1

Estamos em V=R^3 e o subconjunto dado é
S = (x,y,z)inR^3 mid x = 3z
Para decidir se S é um subespaço precisamos verificar três coisas básicas:
  1. O vetor zero pertence a S.
  2. Se u,vin S, então u+vin S.
  3. Se uin S e lambdainR, então lambda uin S.

Passo 2

Verificamos se o vetor nulo está em S. O vetor nulo em R^3 é (0,0,0). Nele temos x=0 e z=0, logo
x = 0 = 3cdot 0 = 3z,
portanto (0,0,0)in S.

Passo 3

Verificamos a soma. Sejam u=(x1,y1,z1) e v=(x2,y2,z2) em S. Então x1=3z1 e x2=3z2. A soma é
u+v = (x1+x2,;y1+y2,;z1+z2)
Para este vetor, a primeira coordenada é
x1 + x2 = 3z1 + 3z2 = 3(z1+z2),
ou seja, a condição x=3z se mantém em u+v. Logo u+vin S.

Passo 4

Verificamos a fechadura por escalar. Seja lambdainR e u=(x,y,z)in S, com x=3z. Então
lambda u = (lambda x,;lambda y,;lambda z)
A primeira coordenada é
lambda x = lambda,(3z) = 3,(lambda z),
portanto lambda u também satisfaz x=3z e fica em S.

Passo 5

Como S contém o zero, é fechado em soma e em multiplicação por escalar, concluímos que S é um subespaço de R^3.

Resposta

O conjunto S=(x,y,z)inR^3mid x=3z é um subespaço de R^3, logo não é um exemplo de subconjunto que não seja subespaço.

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