Considere os subconjuntos do R^2 abaixo: I. (1,5),(1,2). II. (1,3),(3,9) III. (2,1),(1,2) É(São) Base(s) do R^2: c) Apenas III

Passo 1

O enunciado dá três subconjuntos de R^2, cada um com dois vetores, e pergunta quais deles são bases de R^2. Lembrando que em R^2 um conjunto com dois vetores é base se, e somente se, eles forem linearmente independentes. Para verificar independência de dois vetores u e v podemos calcular o determinante da matriz cujas colunas são esses vetores; se o determinante for diferente de zero, o par é linearmente independente e, portanto, forma uma base.

Passo 2

Conjunto I: (1,5),(1,2).
Formamos a matriz cujas colunas são esses vetores e calculamos o determinante:
det 1 & 1 5 & 2 =1cdot2 - 1cdot5 = 2 - 5 = -3
Como -3neq0, os vetores são linearmente independentes e, portanto, I é uma base de R^2.

Passo 3

Conjunto II: (1,3),(3,9).
Montamos a matriz e calculamos o determinante:
det 1 & 3 3 & 9 =1cdot9 - 3cdot3 = 9 - 9 = 0
O determinante zero indica dependência linear, logo II não é base de R^2.

Passo 4

Conjunto III: (2,1),(1,2).
A matriz formada é
2 & 1 1 & 2 ,
e o determinante vale
det 2 & 1 1 & 2 =2cdot2 - 1cdot1 = 4 - 1 = 3 neq 0
Portanto, III é também linearmente independente e forma uma base de R^2.

Resposta

Os conjuntos que são bases de R^2 são I e III.

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