Considere os subconjuntos do R^2 abaixo: I. (1,5),(1,2). II. (1,3),(3,9) III. (2,1),(1,2) É(São) Base(s) do R^2: d) Apenas I e II

Passo 1

O enunciado dá três subconjuntos de R^2, cada um com dois vetores, e pede quais formam base de R^2.
Em R^2, um conjunto de dois vetores é base se, e somente se, for linearmente independente (nesse caso já garante que espanha R^2).
Para verificar independência de (a,b),(c,d) calculamos o determinante
det a & c b & d=ad-bc
e checamos se é não nulo.

Passo 2

Conjunto I: (1,5),(1,2).
Formamos a matriz cujas colunas são esses vetores e calculamos
det1 & 15 & 2 =1cdot2 - 5cdot1 = 2 - 5 = -3 neq 0
Logo I é linearmente independente e é base de R^2.

Passo 3

Conjunto II: (1,3),(3,9).
Calculamos
det1 & 33 & 9 =1cdot9 - 3cdot3 = 9 - 9 = 0
Como o determinante é zero, os vetores são linearmente dependentes e não formam base.

Passo 4

Conjunto III: (2,1),(1,2).
Calculamos
det2 & 11 & 2 =2cdot2 - 1cdot1 = 4 - 1 = 3 neq 0
Portanto III também é linearmente independente e é base de R^2.

Passo 5

Como apenas os conjuntos I e III têm determinante não nulo, são eles os que formam base de R^2. A opção “apenas I e II” está incorreta.

Resposta

Apenas I e III.

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