Verifique o conjuntos de vetores e classifique-os como LI ou LD
\beta_{2}=\{[-3,-1,1],[0,2,-1],[1,-4,5]\}

Passo 1

O enunciado pede que verifiquemos se o conjunto \beta_{2}=\{\,[ -3,-1,1 ],\,[ 0,2,-1 ],\,[ 1,-4,5 ]\,\} é linearmente independente (LI) ou linearmente dependente (LD).
Informações dadas:
  • v_1 = [-3,-1,1]
  • v_2 = [0,2,-1]
  • v_3 = [1,-4,5]
Pergunta a responder: os vetores v_1,v_2,v_3 são LI ou LD?

Passo 2

Definição (explicada de forma prática): o conjunto \{v_1,v_2,v_3\} é linearmente independente se a única solução da combinação linear
c_1 v_1 + c_2 v_2 + c_3 v_3 = 0
for c_1=c_2=c_3=0. Caso exista solução não trivial (algum c_i\neq0), são linearmente dependentes.
Vamos escrever a equação componente a componente. Se v_1=[-3,-1,1], v_2=[0,2,-1], v_3=[1,-4,5], então
c_1\begin{pmatrix}-3\\\ -1\\\ 1\end{pmatrix} + c_2\begin{pmatrix}0\\\ 2\\\ -1\end{pmatrix} + c_3\begin{pmatrix}1\\\ -4\\\ 5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
Isto gera o sistema linear
\begin{cases} -3c_1 + 0c_2 + 1c_3 = 0,\\[4pt] -1c_1 + 2c_2 -4c_3 = 0,\\[4pt] 1c_1 -1c_2 +5c_3 = 0. \end{cases}]

Passo 3

Vamos resolver o sistema por eliminação de Gauss. Escrevo a matriz dos coeficientes (com as colunas correspondendo a c_1,c_2,c_3):
\begin{pmatrix} -3 & 0 & 1\\[4pt] -1 & 2 & -4\\[4pt] 1 & -1 & 5 \end{pmatrix}.
Para facilitar os cálculos, troco a linha 1 com a linha 3 (isso apenas troca a ordem das equações):
\begin{pmatrix} 1 & -1 & 5\\[4pt] -1 & 2 & -4\\[4pt] -3 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Agora elimino abaixo do pivô da primeira coluna:
  • Faço R_2 \leftarrow R_2 + R_1: R_2 = (-1,2,-4) + (1,-1,5) = (0,1,1).
  • Faço R_3 \leftarrow R_3 + 3R_1: R_3 = (-3,0,1) + 3(1,-1,5) = (0,-3,16).
Matriz após essas operações:
\begin{pmatrix} 1 & -1 & 5\\[4pt] 0 & 1 & 1\\[4pt] 0 & -3 & 16 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Agora uso o pivô [1) na segunda linha, segunda coluna, para zerar abaixo:
  • Faço R_3 \leftarrow R_3 + 3R_2: R_3 = (0,-3,16) + 3(0,1,1) = (0,0,19).
A matriz triangular superior ficou:
\begin{pmatrix} 1 & -1 & 5\\[4pt] 0 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 19 \end{pmatrix}.
Essa forma nos dá imediatamente o sistema equivalente por substituição regressiva:
\begin{cases} 19 c_3 = 0,\\[4pt] c_2 + c_3 = 0,\\[4pt] c_1 - c_2 + 5c_3 = 0. \end{cases}
Da primeira equação segue c_3 = 0\]. Substituindo na segunda, \(c_2 + 0 = 0 c_2 = 0. Substituindo c_2=c_3=0 na terceira, c_1 - 0 + 0 = 0 c_1 = 0.
Portanto a única solução é c_1=c_2=c_3=0.]

Passo 5

Interpretação final do resultado: como a única solução do sistema homogêneo é a trivial, os vetores \,v_1,v_2,v_3 são linearmente independentes.
Opcional — checagem rápida com determinante (só para verificação): a matriz com colunas v_1,v_2,v_3 é
A=\begin{pmatrix} -3 & 0 & 1\\[4pt] -1 & 2 & -4\\[4pt] 1 & -1 & 5 \end{pmatrix},
e \det(A) = -19 \neq 0. Como o determinante é não nulo, isso também garante que as colunas são LI. (Não era necessário, mas é um atalho rápido.)]

Resposta

Linearmente independentes (LI)

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