Considere subconjuntos de Espaço Vetoriais Euclidiano R^n, a partir das definições de operé usuais, mostre se os subconjuntos abaixo são subespaços ou não:
03) S=(x, y) in R^2 mid x y=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um conjunto S = (x, y) in R^2 mid x cdot y = 0 . Nosso objetivo é verificar se esse conjunto é um subespaço do espaço vetorial euclidiano R^2. Para isso, precisamos lembrar quais são as propriedades que um subconjunto deve satisfazer para ser considerado um subespaço.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço. Um subespaço de R^n precisa satisfazer três condições:
  1. Contém o vetor zero: O vetor (0, 0) deve estar em S.
  2. Fechado para adição: Se u e v estão em S, então u + v também deve estar em S.
  3. Fechado para multiplicação por escalar: Se u está em S e c é um escalar, então c cdot u também deve estar em S.
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto S.

Passo 3

1. Contém o vetor zero:
O vetor zero é (0, 0). Vamos verificar se ele está em S:
x cdot y = 0 cdot 0 = 0
Como 0 = 0, o vetor zero está em S. Então, a primeira condição está satisfeita.

Passo 4

2. Fechado para adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer em S. Por exemplo, u = (1, 0) e v = (0, 1).
Verificamos se u está em S:
1 cdot 0 = 0 Rightarrow u in S
E se v está em S:
0 cdot 1 = 0 Rightarrow v in S
Agora, somamos u e v:
u + v = (1 + 0, 0 + 1) = (1, 1)
Vamos verificar se (1, 1) está em S:
1 cdot 1 = 1 neq 0
Como 1 neq 0, o vetor (1, 1) não está em S. Portanto, S não é fechado para adição.

Passo 5

3. Fechado para multiplicação por escalar:
Embora já tenhamos descoberto que S não é um subespaço por não ser fechado para adição, vamos verificar a última condição para entender melhor.
Pegamos um vetor em S, digamos u = (2, 0), e um escalar c = 3.
Multiplicando:
c cdot u = 3 cdot (2, 0) = (6, 0)
Verificamos:
6 cdot 0 = 0 Rightarrow (6, 0) in S
Parece que, nesse caso, a multiplicação por escalar funciona. Mas, como já vimos, uma das condições já falha, então S não é um subespaço.

Resposta

Não, o conjunto S não é um subespaço de R^2 .

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