Considere subconjuntos de Espaço Vetoriais Euclidiano
, a partir das definições de operé usuais, mostre se os subconjuntos abaixo são subespaços ou não:
03)
03)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um conjunto
. Nosso objetivo é verificar se esse conjunto é um subespaço do espaço vetorial euclidiano
. Para isso, precisamos lembrar quais são as propriedades que um subconjunto deve satisfazer para ser considerado um subespaço.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço. Um subespaço de
precisa satisfazer três condições:
- Contém o vetor zero: O vetor
deve estar em . - Fechado para adição: Se
e estão em , então também deve estar em . - Fechado para multiplicação por escalar: Se
está em e é um escalar, então também deve estar em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto
.
Passo 3
1. Contém o vetor zero:
O vetor zero é
. Vamos verificar se ele está em
:
Como
, o vetor zero está em
. Então, a primeira condição está satisfeita.
Passo 4
2. Fechado para adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer em
. Por exemplo,
e
.
Verificamos se
está em
:
E se
está em
:
Agora, somamos
e
:
Vamos verificar se
está em
:
Como
, o vetor
não está em
. Portanto,
não é fechado para adição.
Passo 5
3. Fechado para multiplicação por escalar:
Embora já tenhamos descoberto que
não é um subespaço por não ser fechado para adição, vamos verificar a última condição para entender melhor.
Pegamos um vetor em
, digamos
, e um escalar
.
Multiplicando:
Verificamos:
Parece que, nesse caso, a multiplicação por escalar funciona. Mas, como já vimos, uma das condições já falha, então
não é um subespaço.
Resposta
Não, o conjunto
não é um subespaço de
.