Sejam v1=(x1, y1, z1), v2=(x2, y2, z2) in R^3.Verifique quais das seguintes funções lang<=rang<=:, R^3 times R^3 R definem um produto interno:
lang<= v1, v2rang<==2 x1 x2+3 y1 y2+z1 z2

Passo 1

Beleza, a questão é: “Verificar se a função
lang<= v1, v2rang<= = 2x1x2 + 3y1y2 + z1z2
com vi=(xi,yi,zi) em R^3 é um produto interno.”
Conteúdo: definição de produto interno (simetria, linearidade e positividade/definitude). Vamos usar exatamente essas três propriedades para checar.

Passo 2

Simetria: um produto interno deve satisfazer
lang<= v1,v2rang<= = lang<= v2,v1rang<=
Aqui
2x1x2 + 3y1y2 + z1z2
é exatamente igual a
2x2x1 + 3y2y1 + z2z1
porque multiplicação é comutativa. Logo, simetria OK.

Passo 3

Linearidade (no primeiro argumento):
  1. Adição: lang<= v1+v2,,v3rang<= =
2(x1+x2)x3 ;+;3(y1+y2)y3;+;(z1+z2)z3
= l(2x1x3+3y1y3+z1z3r)+l(2x2x3+3y2y3+z2z3r)
= lang<= v1,v3rang<=+lang<= v2,v3rang<=.
2) Escalar c: lang<= c,v1, v2rang<= = 2(cx1)x2+3(cy1)y2+(cz1)z2 = c,(2x1x2+3y1y2+z1z2) = c,lang<= v1,v2rang<=
Logo, é linear.

Passo 4

Positividade/Definitude:
lang<= v1,v1rang<= = 2x1^2 + 3y1^2 + z1^2
Cada termo é um quadrado vezes constante positiva (2, 3, 1). Então lang<= v1,v1rang<= >= 0.
E lang<= v1,v1rang<= = 0 só se x1=0, y1=0 e z1=0, ou seja, v1 for vetor zero. Isso garante a definitude.

Resposta

Sim! A função lang<= v1, v2rang<= = 2x1x2 + 3y1y2 + z1z2 satisfaz simetria, linearidade e positividade/definitude, logo é um produto interno em R^3.

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