Sejam
.Verifique quais das seguintes funções
definem um produto interno:
Passo 1
Beleza, a questão é: “Verificar se a função
com
em
é um produto interno.”
Conteúdo: definição de produto interno (simetria, linearidade e positividade/definitude). Vamos usar exatamente essas três propriedades para checar.
Conteúdo: definição de produto interno (simetria, linearidade e positividade/definitude). Vamos usar exatamente essas três propriedades para checar.
Passo 2
Simetria: um produto interno deve satisfazer
Aqui
é exatamente igual a
porque multiplicação é comutativa. Logo, simetria OK.
Passo 3
Linearidade (no primeiro argumento):
- Adição:
=
=
= .
2) Escalar :
Logo, é linear.
=
2) Escalar
Logo, é linear.
Passo 4
Positividade/Definitude:
Cada termo é um quadrado vezes constante positiva (2, 3, 1). Então
.
E só se
,
e
, ou seja,
for vetor zero. Isso garante a definitude.
E
Resposta
Sim! A função
satisfaz simetria, linearidade e positividade/definitude, logo é um produto interno em
.