Considere subconjuntos de Espaço Vetoriais Euclidiano
, a partir das definições de operé usuais, mostre se os subconjuntos abaixo são subespaços ou não:
05)
05)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa descobrir se o conjunto
é um subespaço de
. Para isso, vamos usar alguns conceitos de espaços vetoriais, como presença do vetor zero, fechamento por adição e por multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos conferir se o vetor zero está em
. O vetor zero em
é
. Substituindo na condição de
:
Então, o vetor zero pertence a
.
Passo 3
Agora, precisamos ver se
é fechado pela adição. Ou seja, se pegarmos dois vetores quaisquer em
, a soma deles também deve estar em
.
Vamos considerar dois vetores
e
em
. Então, temos:
Somando os vetores:
Para que
seja fechado pela adição, precisamos que:
No entanto, nem sempre isso acontece. Por exemplo, se
e
estão em
, porque
e
. Mas a soma é
, e:
Então, a soma não está em
.
Passo 4
Como já vimos no passo anterior,
não é fechado pela adição. Não precisamos verificar a multiplicação por escalar, pois para ser um subespaço, todas as condições precisam ser verdadeiras.
Resposta
O conjunto
não é um subespaço de
.