Considere subconjuntos de Espaço Vetoriais Euclidiano R^n, a partir das definições de operé usuais, mostre se os subconjuntos abaixo são subespaços ou não:
05) S=(x, y) in R^2| | x|=|y|

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa descobrir se o conjunto S = (x, y) in R^2 mid |x| = |y| é um subespaço de R^2 . Para isso, vamos usar alguns conceitos de espaços vetoriais, como presença do vetor zero, fechamento por adição e por multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos conferir se o vetor zero está em S . O vetor zero em R^2 é (0, 0) . Substituindo na condição de S :
|0| = |0| Rightarrow 0 = 0
Então, o vetor zero pertence a S .

Passo 3

Agora, precisamos ver se S é fechado pela adição. Ou seja, se pegarmos dois vetores quaisquer em S , a soma deles também deve estar em S .
Vamos considerar dois vetores (x1, y1) e (x2, y2) em S . Então, temos:
|x1| = |y1| e |x2| = |y2|
Somando os vetores:
(x1 + x2, y1 + y2)
Para que S seja fechado pela adição, precisamos que:
|x1 + x2| = |y1 + y2|
No entanto, nem sempre isso acontece. Por exemplo, se (1, 1) e (1, -1) estão em S , porque |1| = |1| e |1| = |-1| . Mas a soma é (2, 0) , e:
|2| neq |0| Rightarrow 2 neq 0
Então, a soma não está em S .

Passo 4

Como já vimos no passo anterior, S não é fechado pela adição. Não precisamos verificar a multiplicação por escalar, pois para ser um subespaço, todas as condições precisam ser verdadeiras.

Resposta

O conjunto S não é um subespaço de R^2 .

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