Considere subconjuntos de Espaço Vetoriais Euclidiano R^n, a partir das definições de operé usuais, mostre se os subconjuntos abaixo são subespaços ou não:
07) S=(x, y, z) in R^3 mid x^2+y^2+z^2 <= 1

Passo 1

O enunciado define
S = (x,y,z)in R^3 mid x^2 + y^2 + z^2 <= 1
e pede para verificar se S é subespaço de R^3. Para isso, precisamos checar três propriedades:
  1. 0in S.
  2. Se u,vin S, então u+vin S.
  3. Se uin S e alphainR, então alpha uin S.

Passo 2

Verificamos a origem: tomando o vetor 0=(0,0,0), temos
0^2 + 0^2 + 0^2 = 0 <= 1,
logo 0in S.

Passo 3

Testamos fechamento sob adição com um contra-exemplo. Considere
u = (1,0,0), v=(0,1,0)
Cada um satisfaz |u|^2 = 1^2+0^2+0^2 =1<=1 e |v|^2 =0+1^2+0=1<=1, então u,vin S. Mas
u+v = (1,1,0), |(1,1,0)|^2 = 1^2+1^2+0^2 = 2 >1,
portanto u+vnotin S. Falha a propriedade de fechamento por soma.

Passo 4

Testamos fechamento sob multiplicação escalar com outro contra-exemplo simples. Seja
alpha = 2 e w=(1,0,0). Como |w|^2 =1<=1, win S. Mas
|alpha w| = |2cdot(1,0,0)| = 2 >1,
logo alpha wnotin S. Falha também a propriedade de fechamento por escalar.

Resposta

S não é subespaço vetorial de R^3, pois não é fechado nem para soma nem para multiplicação por escalar.

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