Considere subconjuntos de Espaço Vetoriais Euclidiano R^n, a partir das definições de operé usuais, mostre se os subconjuntos abaixo são subespaços ou não:
S=(x, y, z) in R^3 mid y=x+z+1

Passo 1

O enunciado define
S = (x,y,z)in R^3 mid y = x + z + 1
e pergunta se S é subespaço de R^3.
Para isso, lembre que um subconjunto WsubseteqR^3 é subespaço se e somente se:
1. W contém o vetor zero.
2. W é fechado sob soma: para todo u,vin W, u+vin W.
3. W é fechado sob multiplicação escalar: para todo uin W e todo escalar lambda, lambda uin W.

Passo 2

Verificamos se o vetor zero (0,0,0) satisfaz a equação de definição de S. Substituindo em y = x + z + 1 temos
0 stackrel?= 0 + 0 + 1 Longrightarrow 0 = 1,
o que é falso. Logo, (0,0,0)notin S.

Passo 3

Como um subespaço deve conter o vetor zero e S não o contém, já concluímos que S não pode ser subespaço de R^3.
(Em particular, a “ +1” torna S um plano afim deslocado da origem, logo não fechado para as operações vetoriais.)

Resposta

S não é subespaço de R^3.

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