Considere subconjuntos de Espaço Vetoriais Euclidiano
, a partir das definições de operé usuais, mostre se os subconjuntos abaixo são subespaços ou não:
Passo 1
O enunciado pede para verificar se
é um subespaço de
.
Em geral, para mostrar que um subconjunto de um espaço vetorial é subespaço, precisamos checar três propriedades:
Em geral, para mostrar que um subconjunto
-
contém o vetor zero. -
é fechado sob soma de vetores. -
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Mostramos que o vetor zero
pertence a
. De fato,
logo
.
Passo 3
Verificamos o fechamento sob adição. Suponha
e
.
Então
Então
Considere a soma
.
Calculamos
Calculamos
Logo a soma pertence a
.
Passo 4
Verificamos o fechamento sob multiplicação escalar. Seja
e
, isto é,
. Então
Portanto
.
Passo 5
Como
contém o zero, é fechado sob soma e é fechado sob multiplicação por escalar, concluímos que
é um subespaço de
.