Considere subconjuntos de Espaço Vetoriais Euclidiano R^n, a partir das definições de operé usuais, mostre se os subconjuntos abaixo são subespaços ou não:
S=(x, y, z) in R^3 mid x-3 z=0

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
S = (x,y,z)inR^3 mid x - 3z = 0
é um subespaço de R^3.
Em geral, para mostrar que um subconjunto S de um espaço vetorial é subespaço, precisamos checar três propriedades:
  1. S contém o vetor zero.
  2. S é fechado sob soma de vetores.
  3. S é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Mostramos que o vetor zero (0,0,0) pertence a S. De fato,
x-3z = 0 - 3cdot 0 = 0,
logo (0,0,0)in S.

Passo 3

Verificamos o fechamento sob adição. Suponha
(x1,y1,z1)in S e (x2,y2,z2)in S.
Então
x1 - 3z1 = 0 e x2 - 3z2 = 0
Considere a soma
(x1+x2,;y1+y2,;z1+z2).
Calculamos
(x1+x2) - 3,(z1+z2) = (x1 - 3z1) + (x2 - 3z2) = 0 + 0 = 0
Logo a soma pertence a S.

Passo 4

Verificamos o fechamento sob multiplicação escalar. Seja alphainR e (x,y,z)in S, isto é, x-3z=0. Então
alpha x - 3(alpha z) = alpha,(x - 3z) = alphacdot 0 = 0
Portanto (alpha x,alpha y,alpha z)in S.

Passo 5

Como S contém o zero, é fechado sob soma e é fechado sob multiplicação por escalar, concluímos que S é um subespaço de R^3.

Resposta

S é subespaço de R^3.

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