Considere subconjuntos de Espaço Vetoriais Euclidiano R^n, a partir das definições de operé usuais, mostre se os subconjuntos abaixo são subespaços ou não:
04) S=(x, y) in R^2 mid x=3 y

Passo 1

O enunciado define o subconjunto
S = (x,y)inR^2 mid x=3y,
e pede para verificar se S é subespaço de R^2.
Para isso, vamos usar a definição de subespaço: é preciso mostrar que
  1. o vetor zero está em S,
  2. S é fechado sob adição,
  3. S é fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Verificamos o vetor zero: em R^2, o vetor zero é (0,0). Como 0 = 3cdot 0, então (0,0)in S.

Passo 3

Fechamento sob adição: sejam (x1,y1) e (x2,y2) em S. Então
x1 = 3y1 e x2 = 3y2
O somatório é
(x1+x2,;y1+y2).
Como
x1+x2 = 3y1 + 3y2 = 3(y1+y2),
ssegue que (x1+x2,y1+y2) também satisfaz a equação x=3y, logo pertence a S.

Passo 4

Fechamento sob multiplicação escalar: seja (x,y)in S e alphainR. Então x=3y e
alpha(x,y) = (alpha x,;alpha y)
Como
alpha x = alpha,(3y) = 3(alpha y),
temos (alpha x,alpha y)in S.

Passo 5

Como S contém o vetor zero e é fechado sob adição e multiplicação escalar, concluímos que S é subespaço de R^2.

Resposta

S é um subespaço de R^2.

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