Considere subconjuntos de Espaço Vetoriais Euclidiano
, a partir das definições de operé usuais, mostre se os subconjuntos abaixo são subespaços ou não:
06)
06)
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
é um subespaço de
. Para isso, vamos usar o critério de subespaço que exige:
- Contém o vetor zero.
- É fechado sob multiplicação escalar.
- É fechado sob soma de vetores.
Passo 2
Vamos entender o formato de
. A equação
implica
Logo
ou seja, é a união das retas
e
.
Passo 3
Verificação das primeiras duas condições de subespaço:
- O vetor zero
pertence a porque . - Se
então . Para qualquer escalar temos logo e . Assim é fechado sob multiplicação escalar.
Passo 4
Agora testamos a soma de vetores. Tomemos
(porque
)
e
(porque
).
A soma é
e
A soma é
Mas para
temos
, então
. Isso mostra que
não é fechado sob adição.