Considere subconjuntos de Espaço Vetoriais Euclidiano R^n, a partir das definições de operé usuais, mostre se os subconjuntos abaixo são subespaços ou não:
06) S=(x, y) in R^2 mid x^2=y^2

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
S = (x,y)in R^2 mid x^2 = y^2
é um subespaço de R^2. Para isso, vamos usar o critério de subespaço que exige:
  1. Contém o vetor zero.
  2. É fechado sob multiplicação escalar.
  3. É fechado sob soma de vetores.

Passo 2

Vamos entender o formato de S. A equação x^2 = y^2 implica
y = x ou y = -x
Logo
S = (x,x)mid xinR;cup;(x,-x)mid xinR,
ou seja, é a união das retas y=x e y=-x.

Passo 3

Verificação das primeiras duas condições de subespaço:
  • O vetor zero (0,0) pertence a S porque 0^2=0^2.
  • Se (x,y)in S então x^2=y^2. Para qualquer escalar alphainR temos (alpha x)^2 = alpha^2 x^2 e (alpha y)^2 = alpha^2 y^2, logo (alpha x)^2 = (alpha y)^2 e (alpha x,alpha y)in S. Assim S é fechado sob multiplicação escalar.

Passo 4

Agora testamos a soma de vetores. Tomemos
(1,1)in S (porque 1^2=1^2)
e
(1,-1)in S (porque 1^2=(-1)^2).
A soma é
(1,1)+(1,-1) = (2,0)
Mas para (2,0) temos 2^2neq 0^2, então (2,0)notin S. Isso mostra que S não é fechado sob adição.

Resposta

S não é subespaço de R^2.

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