Considere subconjuntos de Espaço Vetoriais Euclidiano R^n, a partir das definições de operé usuais, mostre se os subconjuntos abaixo são subespaços ou não:
08) S=(x, 0,0) in R^3 mid x in R

Passo 1

O enunciado dá o subconjunto
S = (x,0,0)inR^3 mid xinR
e pede para verificarmos se S é subespaço de R^3. Para isso, como estamos em um Espaço Vetorial Euclidiano com as operações usuais, basta checar:
  1. S contém o vetor zero;
  2. S é fechado sob soma;
  3. S é fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Mostramos que o vetor zero de R^3, isto é (0,0,0), está em S. Basta notar que (0,0,0)=(x,0,0) com x=0. Logo
(0,0,0)in S

Passo 3

Sejam ,(x1,0,0) e ,(x2,0,0) vetores quaisquer em S e seja alphainR.
  • A soma é
(x1,0,0)+(x2,0,0) = (x1+x2,,0,,0),
e como x1+x2inR, o resultado está em S.
  • O produto escalar é
alpha,(x1,0,0) = (alpha x1,,0,,0),
e como alpha x1inR, esse vetor também pertence a S.

Resposta

S satisfaz os três requisitos de subespaço (contém o zero, fechado em soma e em multiplicação escalar). Portanto,
S é um subespaço de R^3.

Exercícios relacionados