Considere subconjuntos de Espaço Vetoriais Euclidiano
, a partir das definições de operé usuais, mostre se os subconjuntos abaixo são subespaços ou não:
Passo 1
O enunciado define
Queremos mostrar se
é um subespaço de
. Para isso usamos a definição: um subconjunto
é subespaço se e somente se
- contém o vetor zero;
- é fechado sob soma de vetores;
- é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificamos o vetor zero
. Como
temos
. Logo, a primeira condição está ok.
Passo 3
Fechamento sob soma. Seja
Então
e
. A soma é
Como
segue
. Portanto,
é fechado sob soma.
Passo 4
Fechamento sob escalar. Seja
e
com
. Então
Verificamos
logo
. Assim,
é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Como
contém o vetor zero, é fechado sob soma e sob multiplicação por escalar, concluímos que
é um subespaço de
.