Considere subconjuntos de Espaço Vetoriais Euclidiano R^n, a partir das definições de operé usuais, mostre se os subconjuntos abaixo são subespaços ou não:
S=(x, y, z) in R^3 mid y=x+z

Passo 1

O enunciado define
S = (x,y,z)in R^3 mid y = x + z
Queremos mostrar se S é um subespaço de R^3. Para isso usamos a definição: um subconjunto WsubseteqR^3 é subespaço se e somente se
  1. contém o vetor zero;
  2. é fechado sob soma de vetores;
  3. é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos o vetor zero (0,0,0). Como
0 = 0 + 0,
temos (0,0,0)in S. Logo, a primeira condição está ok.

Passo 3

Fechamento sob soma. Seja
u = (x1,y1,z1)in S, v=(x2,y2,z2)in S
Então y1 = x1 + z1 e y2 = x2 + z2. A soma é
u+v = (x1+x2,;y1+y2,;z1+z2)
Como
y1 + y2 = (x1+z1) + (x2+z2) = (x1 + x2) + (z1 + z2),
segue u+vin S. Portanto, S é fechado sob soma.

Passo 4

Fechamento sob escalar. Seja cinR e u=(x,y,z)in S com y=x+z. Então
c,u = (c,x,;c,y,;c,z)
Verificamos
c,y = c,(x+z) = c,x + c,z,
logo c,uin S. Assim, S é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Como S contém o vetor zero, é fechado sob soma e sob multiplicação por escalar, concluímos que S é um subespaço de R^3.

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