Considere subconjuntos de Espaço Vetoriais Euclidiano R^n, a partir das definições de operé usuais, mostre se os subconjuntos abaixo são subespaços ou não:
S=(x, y, z) in R^3 mid x <= y <= z

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
S = (x,y,z)inR^3 mid x<= y<= z
é um subespaço de R^3 com as operações usuais.
Para isso, usamos a definição: S é subespaço se, e somente se,
  1. 0in S,
  2. u,vin S implica u+vin S,
  3. para todo escalar alpha e todo uin S vale alpha,uin S.

Passo 2

Verificamos primeiro o vetor zero
0=(0,0,0). Como
0 <= 0 <= 0,
temos 0in S. Até aqui tudo bem.

Passo 3

Basta encontrar um contraexemplo à multiplicação escalar para concluir que S não é subespaço.
Escolha
u = (1,2,3)in S e o escalar alpha = -1
Então
alpha,u = -1cdot(1,2,3) = (-1,-2,-3)
Para esse vetor teria que valer -1 <= -2 <= -3, mas -1 <= -2 é falso. Logo
alpha,unotin S,
ou seja, S não é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

S não é um subespaço de R^3.

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