Supondo conhecidos os vetores e , resolver o sistema:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações envolvendo vetores u e v. A nossa missão é encontrar os vetores x e y que satisfazem essas equações. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente a resolução de sistemas lineares. Vamos precisar manipular as equações para isolar x e y.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de forma mais clara:
12 x + 2 y = u - v 3 x - 23 y = u + 13 v
Aqui, temos duas equações com duas incógnitas vetoriais: x e y.
Passo 3
Para simplificar as contas, vamos multiplicar a primeira equação por 2 para eliminar o denominador:
2 ( 12 x + 2 y ) = 2 (u - v)
Isso resulta em:
x + 4 y = 2u - 2v
Agora, nosso sistema fica assim:
x + 4 y = 2u - 2v 3 x - 23 y = u + 13 v
Passo 4
Vamos agora resolver o sistema usando o método de substituição. Primeiro, isolamos x na primeira equação:
x = (2u - 2v) - 4 y
Passo 5
Com a expressão de x em mãos, substituímos na segunda equação:
3 ( (2u - 2v) - 4 y ) - 23 y = u + 13 v
Vamos distribuir o 3:
6u - 6v - 12 y - 23 y = u + 13 v
Passo 6
Agora, vamos juntar os termos que envolvem y:
-12 y - 23 y = u + 13 v - 6u + 6v
Simplificando o lado direito:
-12 y - 23 y = -5u + 193 v
Passo 7
Vamos somar os coeficientes de y:
-12 y - 23 y = -(12 + 23) y = -383 y
Então, temos:
-383 y = -5u + 193 v
Passo 8
Para isolar y, multiplicamos ambos os lados por -338:
y = ( -5u + 193 v ) times ( -338 )
Calculando:
y = 1538 u - 1938 v
Passo 9
Agora que temos y, vamos substituir de volta na expressão que encontramos para x: