Supondo conhecidos os vetores u e v, resolver o sistema:
l 12 x+2 y=u-v 3 x-23 y=u+13 v

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações envolvendo vetores u e v. A nossa missão é encontrar os vetores x e y que satisfazem essas equações. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente a resolução de sistemas lineares. Vamos precisar manipular as equações para isolar x e y.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de forma mais clara:
12 x + 2 y = u - v 3 x - 23 y = u + 13 v
Aqui, temos duas equações com duas incógnitas vetoriais: x e y.

Passo 3

Para simplificar as contas, vamos multiplicar a primeira equação por 2 para eliminar o denominador:
2 ( 12 x + 2 y ) = 2 (u - v)
Isso resulta em:
x + 4 y = 2u - 2v
Agora, nosso sistema fica assim:
x + 4 y = 2u - 2v 3 x - 23 y = u + 13 v

Passo 4

Vamos agora resolver o sistema usando o método de substituição. Primeiro, isolamos x na primeira equação:
x = (2u - 2v) - 4 y

Passo 5

Com a expressão de x em mãos, substituímos na segunda equação:
3 ( (2u - 2v) - 4 y ) - 23 y = u + 13 v
Vamos distribuir o 3:
6u - 6v - 12 y - 23 y = u + 13 v

Passo 6

Agora, vamos juntar os termos que envolvem y:
-12 y - 23 y = u + 13 v - 6u + 6v
Simplificando o lado direito:
-12 y - 23 y = -5u + 193 v

Passo 7

Vamos somar os coeficientes de y:
-12 y - 23 y = -(12 + 23) y = -383 y
Então, temos:
-383 y = -5u + 193 v

Passo 8

Para isolar y, multiplicamos ambos os lados por -338:
y = ( -5u + 193 v ) times ( -338 )
Calculando:
y = 1538 u - 1938 v

Passo 9

Agora que temos y, vamos substituir de volta na expressão que encontramos para x:
x = (2u - 2v) - 4 y
Substituindo y:
x = 2u - 2v - 4 ( 1538 u - 1938 v )

Passo 10

Distribuindo o 4:
x = 2u - 2v - 6038 u + 7638 v
Simplificando as frações:
x = 2u - 2v - 3019 u + 3819 v

Passo 11

Agora, vamos combinar os termos semelhantes:
Para u:
2 - 3019 = 3819 - 3019 = 819
Para v:
-2 + 3819 = -3819 + 3819 = 0
Então, temos:
x = 819 u

Resposta

A solução do sistema é:
x = 819 u e y = 1538 u - 1938 v

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