Dados os sist cmas de equaçōes paramétricas
verificar que representam a mesma parábola.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema nos apresenta dois sistemas de equações paramétricas e pede para verificarmos se eles representam a mesma parábola. Isso envolve entender um pouco de parametrização de curvas e equações de parábolas. Vamos precisar eliminar o parâmetro
para encontrar a equação cartesiana de cada sistema e comparar as duas.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o primeiro sistema:
Aqui, temos
e
. Nosso objetivo é eliminar
para encontrar a relação entre
e
.
Passo 3
Vamos resolver a primeira equação para
:
Agora que temos
em termos de
, substituímos na segunda equação:
Então, a equação cartesiana para o primeiro sistema é:
Passo 4
Agora, vamos fazer o mesmo para o segundo sistema:
Aqui, temos
e
. Vamos eliminar
novamente.
Passo 5
Resolvendo a primeira equação para
:
Substituindo na segunda equação:
Portanto, a equação cartesiana para o segundo sistema também é:
Resposta
Como ambas as parametrizações resultam na mesma equação cartesiana
, podemos concluir que os dois sistemas de equações paramétricas representam a mesma parábola.