Dados os sist cmas de equaçōes paramétricas
l x = raiz 2 t y = t + 3 , t in [ 0 , 8 ] e l x=-t y=t^22+3, t in[-4,0]
verificar que representam a mesma parábola.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema nos apresenta dois sistemas de equações paramétricas e pede para verificarmos se eles representam a mesma parábola. Isso envolve entender um pouco de parametrização de curvas e equações de parábolas. Vamos precisar eliminar o parâmetro t para encontrar a equação cartesiana de cada sistema e comparar as duas.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o primeiro sistema:
l x = raiz2 t y = t + 3 , t in [ 0 , 8 ]
Aqui, temos x = raiz2t e y = t + 3 . Nosso objetivo é eliminar t para encontrar a relação entre x e y .

Passo 3

Vamos resolver a primeira equação para t :
x = raiz2t implies x^2 = 2t implies t = x^22
Agora que temos t em termos de x , substituímos na segunda equação:
y = x^22 + 3
Então, a equação cartesiana para o primeiro sistema é:
y = x^22 + 3

Passo 4

Agora, vamos fazer o mesmo para o segundo sistema:
l x = -t y = t^22 + 3, t in[-4,0]
Aqui, temos x = -t e y = t^22 + 3 . Vamos eliminar t novamente.

Passo 5

Resolvendo a primeira equação para t :
x = -t implies t = -x
Substituindo na segunda equação:
y = (-x)^22 + 3 = x^22 + 3
Portanto, a equação cartesiana para o segundo sistema também é:
y = x^22 + 3

Resposta

Como ambas as parametrizações resultam na mesma equação cartesiana y = x^22 + 3 , podemos concluir que os dois sistemas de equações paramétricas representam a mesma parábola.

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