Considere os subconjuntos de R^3: U=(x, x, x) ; x in R e W=(x, y, 0) ; x, y in R.
Mostre que U é um subespaço vetorial de R^3

Passo 1

O enunciado define
U = (x,x,x)mid xinR
como um subconjunto de R^3. Para mostrar que U é subespaço vetorial de R^3, basta verificar que (i) o vetor zero está em U, (ii) U é fechado sob soma e (iii) U é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos que o vetor zero de R^3 pertence a U. Tomando x=0 em (x,x,x), obtemos
(0,0,0)in U

Passo 3

Mostramos a fechamento sob soma. Sejam (x,x,x)in U e (y,y,y)in U. Então
(x,x,x)+(y,y,y) = (x+y,;x+y,;x+y)
Como x+yinR, o vetor (x+y,x+y,x+y) pertence a U. Logo, U é fechado sob soma.

Passo 4

Mostramos a fechamento sob multiplicação por escalar. Dado (x,x,x)in U e lambdainR,
lambda,(x,x,x) = (lambda x,;lambda x,;lambda x)
Como lambda xinR, o vetor (lambda x,lambda x,lambda x) pertence a U. Logo, U é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Concluímos que U contém o vetor zero, é fechado sob soma e sob multiplicação por escalar; portanto, U é um subespaço vetorial de R^3.

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