Considere os subconjuntos de
e
.
Mostre que
é um subespaço vetorial de
Mostre que
Passo 1
O enunciado define
como um subconjunto de
. Para mostrar que
é subespaço vetorial de
, basta verificar que (i) o vetor zero está em
, (ii)
é fechado sob soma e (iii)
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificamos que o vetor zero de
pertence a
. Tomando
em
, obtemos
Passo 3
Mostramos a fechamento sob soma. Sejam
e
. Então
Como
, o vetor
pertence a
. Logo,
é fechado sob soma.
Passo 4
Mostramos a fechamento sob multiplicação por escalar. Dado
e
,
Como
, o vetor
pertence a
. Logo,
é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Concluímos que
contém o vetor zero, é fechado sob soma e sob multiplicação por escalar; portanto,
é um subespaço vetorial de
.