Exercício 1. Para guiar seu estudo, responda às perguntas abaixo sobre Matriz inversa e determinante.
Quais as propriedades do determinante?

Passo 1

O enunciado pede que listemos e expliquemos as principais propriedades do determinante de uma matriz quadrada. Vamos usar definições básicas (via cofactores ou via permutações) e o impacto das operações sobre linhas e colunas para deduzir cada propriedade.

Passo 2

Propriedades fundamentais e de cálculo direto:
bul<=t A matriz identidade In tem
det(In)=1
bul<=t Se A é triangular (superior ou inferior), então o determinante é o produto dos elementos da diagonal:
det(A)=prodi=1^naii

Passo 3

Multiplicatividade e comportamento na inversa:
bul<=t Para quaisquer matrizes quadradas compatíveis, vale
det(AB)=det(A),det(B)
bul<=t Se A for invertível, aplicando a multiplicatividade a A e A^-1 obtém-se
det(A^-1)=l(det(A)r)^-1

Passo 4

Escalonamento e operações elementares (multilinearidade e alternância):
bul<=t Multiplicar uma linha (ou coluna) de A por um escalar lambda multiplica o determinante por lambda.
bul<=t Em consequência, para todo escalar lambda,
det(lambda A)=lambda^n,det(A)
bul<=t Adicionar a uma linha (ou coluna) um múltiplo de outra linha (ou coluna) não altera o determinante.
bul<=t Trocar duas linhas (ou duas colunas) muda o sinal do determinante.
bul<=t Se duas linhas (ou duas colunas) de A forem iguais, então
det(A)=0

Passo 5

Invariância sob transposição:
bul<=t O determinante de uma matriz é igual ao determinante de sua transposta:
det(A^T)=det(A)

Resposta

det(In)=1
Se A é triangular, det(A)=prodi=1^n aii det(AB)=det(A),det(B) det(A^-1)=l(det(A)r)^-1 det(lambda A)=lambda^n,det(A)
Adicionar múltiplo de linha não altera det; trocar duas linhas muda sinal; linhas iguais Rightarrow det=0 det(A^T)=det(A)

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