Considere os subconjuntos de R^3: U=(x, x, x) ; x in R e W=(x, y, 0) ; x, y in R.
Mostre que W é um subespaço vetorial de R^3

Passo 1

Então, o exercício pede pra mostrar que W = (x,y,0) ; x,y in R é um subespaço vetorial de R^3. Isso faz parte de Álgebra Linear, mais especificamente estudo de subespaços. Para isso, precisamos usar os critérios: conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos checar se o vetor zero de R^3, isto é (0,0,0), pertence a W. Note que (0,0,0) pode ser escrito como (x,y,0) com x=0 e y=0, logo (0,0,0)in W.

Passo 3

Agora, verificamos o fechamento em relação à adição. Pegue dois vetores quaisquer em W, digamos (x1,y1,0) e (x2,y2,0). A soma é (x1 + x2, y1 + y2, 0 + 0) que simplifica para (x1 + x2, y1 + y2, 0). Como (x1 + x2) e (y1 + y2) são reais, este vetor ainda tem a forma (x,y,0) e, portanto, pertence a W.

Passo 4

Por fim, checamos o fechamento sob multiplicação escalar. Seja alpha um escalar em R e (x,y,0) um vetor de W. Então alpha cdot (x,y,0) = (alpha x, alpha y, alpha cdot 0) que é (alpha x, alpha y, 0). Como alpha x e alpha y são reais, o vetor resultante está em W.

Resposta

Como W contém o vetor zero e é fechado sob adição e multiplicação escalar, concluímos que W é um subespaço vetorial de R^3.

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