Considere os subconjuntos de
e
.
Mostre que
é um subespaço vetorial de
Mostre que
Passo 1
Então, o exercício pede pra mostrar que
é um subespaço vetorial de
. Isso faz parte de Álgebra Linear, mais especificamente estudo de subespaços. Para isso, precisamos usar os critérios: conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos checar se o vetor zero de
, isto é
, pertence a
. Note que
pode ser escrito como
com
e
, logo
.
Passo 3
Agora, verificamos o fechamento em relação à adição. Pegue dois vetores quaisquer em
, digamos
e
. A soma é
que simplifica para
. Como
e
são reais, este vetor ainda tem a forma
e, portanto, pertence a
.
Passo 4
Por fim, checamos o fechamento sob multiplicação escalar. Seja
um escalar em
e
um vetor de
. Então
que é
. Como
e
são reais, o vetor resultante está em
.
Resposta
Como
contém o vetor zero e é fechado sob adição e multiplicação escalar, concluímos que
é um subespaço vetorial de
.