Exercício 6. Calcule det(A B) onde A=[ll1 & 2 3 & 4 5 & 6] e B=[rrr0 & 1 & -1 1 & 1 & 0]. Neste caso, é também possível calcular det(A) e det(B) ?

Passo 1

O enunciado dá as matrizes
A= 1 & 2 3 & 4 5 & 6 (3times2)
e
B= 0 & 1 & -1 1 & 1 & 0 (2times3)
e pede o determinante de AB. Note que AB é 3times3, então faz sentido falar em det(AB). Já A e B não são quadradas, logo det(A) e det(B) não estão definidos.

Passo 2

Vamos calcular o produto AB. O elemento (i,j) de AB é a soma da i-ésima linha de A vezes a j-ésima coluna de B. Fazendo isso para cada entrada, obtemos
AB = 1cdot0+2cdot1 & 1cdot1+2cdot1 & 1cdot(-1)+2cdot0 3cdot0+4cdot1 & 3cdot1+4cdot1 & 3cdot(-1)+4cdot0 5cdot0+6cdot1 & 5cdot1+6cdot1 & 5cdot(-1)+6cdot0 = 2 & 3 & -1 4 & 7 & -3 6 & 11 & -5

Passo 3

Para det(AB) expandimos por cofactores na primeira linha:
det(AB) =2cdotdet7 & -311 & -5 -3cdotdet4 & -36 & -5 +(-1)cdotdet4 & 76 & 11
Calculando cada 2times2:
det7 & -311 & -5 =7(-5)-(-3),11=-35+33=-2,
det4 & -36 & -5 =4(-5)-(-3),6=-20+18=-2,
det4 & 76 & 11 =4cdot11-7cdot6=44-42=2
Substituindo,
det(AB)=2cdot(-2)-3cdot(-2)+(-1)cdot2=-4+6-2=0

Passo 4

Como A é 3times2 e B é 2times3, nenhuma delas é quadrada. Portanto det(A) e det(B) não existem (não se calcula determinante de matriz não quadrada). A fórmula det(AB)=det(A)det(B) só vale quando A e B são quadradas e do mesmo tamanho, o que não é o caso aqui.

Resposta

det(AB)=0.
Não é possível calcular det(A) nem det(B) porque A e B não são matrizes quadradas.

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