Considere o subconjuntos dos reais com métrica usual
.
Prove
é um conjunto discreto em
.
Prove
Passo 1
O conjunto é
em
R com a métrica usual. Queremos mostrar que
X é discreto, isto é, todo ponto de
X é isolado: para cada
xin X existe
de<a>0 tal que
Passo 2
Fixe um índice
ninN e considere
xn=2-tfrac12n . Note que os outros pontos de
X são
xk=2-tfrac12k com
kneq n . Em particular os mais próximos de
xn são
salvo o caso
n=1 , em que só existe
x2 . Calculemos, para
n>=2 ,
e
Para
n=1 basta notar
Passo 3
Defina
Então
de<an>0 e por construção qualquer outro ponto
xk com
kneq n satisfaz
Logo, para
0<r<=de<an temos
isto é,
xn é isolado.]
Resposta
Como todo
xnin X admite um raio
de<an>0 isolando-o no conjunto, concluímos que
X é um conjunto discreto em
R .