Considere o subconjuntos dos reais com métrica usual X=2-12 n ; n in N.
Prove X é um conjunto discreto em R.

Passo 1

O conjunto é
X=lxn = 2 - 12n ;|; ninNr
em R com a métrica usual. Queremos mostrar que X é discreto, isto é, todo ponto de X é isolado: para cada xin X existe de<a>0 tal que
B(x,de<a)cap X = x

Passo 2

Fixe um índice ninN e considere xn=2-tfrac12n. Note que os outros pontos de X são xk=2-tfrac12k com kneq n. Em particular os mais próximos de xn são
xn-1e xn+1,
salvo o caso n=1, em que só existe x2. Calculemos, para n>=2,
dl(xn,xn-1r) =l|l(2-tfrac12nr)-l(2-tfrac12(n-1)r)r| =l|tfrac12(n-1)-tfrac12nr| =12n(n-1),
e
dl(xn,xn+1r) =l|tfrac12(n+1)-tfrac12nr| =12n(n+1)
Para n=1 basta notar
d(x1,x2) =l|l(2-tfrac12r)-l(2-tfrac14r)r| =tfrac14>0

Passo 3

Defina
de<an = tfrac14, & n=1,[6pt] tfrac12minltfrac12n(n-1),,tfrac12n(n+1)r, & n>=2
Então de<an>0 e por construção qualquer outro ponto xk com kneq n satisfaz
d(xn,xk);>=;2,de<an
Logo, para 0<r<=de<an temos
B(xn,r)cap X = xn,
isto é, xn é isolado.]

Resposta

Como todo xnin X admite um raio de<an>0 isolando-o no conjunto, concluímos que X é um conjunto discreto em R.

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