Faça oque se pede:
Prove que toda função lipschiziana é continua
Prove que toda função lipschiziana é continua
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que toda função Lipschitziana é contínua. Seja
(ou
) e suponha que exista uma constante
tal que, para todos
,
Vamos usar a definição
-
de continuidade:
é contínua em
se, dado qualquer
, existe
tal que
Passo 2
Fixe
e tome um
. Pela condição de Lipschitz,
Para garantir
, basta escolher
de modo que
. Assim, definimos
(Note que, se
, então
é constante e a continuidade é imediata.)
Passo 3
Com essa escolha de
, sempre que
temos
Isso satisfaz exatamente o critério
-
de continuidade em
. Como
era arbitrário, concluímos que
é contínua em todo
.
Resposta
Fica provado que toda função Lipschitziana é contínua.