Faça oque se pede:
Prove que toda função lipschiziana é continua

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que toda função Lipschitziana é contínua. Seja fcolon DtoR (ou R^m) e suponha que exista uma constante L>=0 tal que, para todos x,yin D,
|f(x)-f(y)| <= L,|x-y|
Vamos usar a definição varepsilon- de<a de continuidade: f é contínua em x0in D se, dado qualquer varepsilon>0, existe de<a>0 tal que
|x-x0|<de<a Longrightarrow |f(x)-f(x0)|<varepsilon

Passo 2

Fixe x0in D e tome um varepsilon>0. Pela condição de Lipschitz,
|f(x)-f(x0)| <= L,|x-x0|
Para garantir |f(x)-f(x0)|<varepsilon, basta escolher de<a de modo que L,|x-x0|<varepsilon. Assim, definimos
de<a = varepsilonL
(Note que, se L=0, então f é constante e a continuidade é imediata.)

Passo 3

Com essa escolha de de<a, sempre que |x-x0|<de<a temos
|f(x)-f(x0)| <= L,|x-x0| < L,de<a = varepsilon
Isso satisfaz exatamente o critério varepsilon- de<a de continuidade em x0. Como x0 era arbitrário, concluímos que f é contínua em todo D.

Resposta

Fica provado que toda função Lipschitziana é contínua.

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