Considere
e
subconjuntos de
. Verifique quais são seus subespaços vetoriais
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para verificar se os conjuntos
e
são subespaços vetoriais de
. Hoje vamos focar no
. Para resolver isso, precisamos lembrar o que define um subespaço vetorial: ele precisa conter o vetor zero, ser fechado sob adição e sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está em
. O vetor zero em
é
. Substituindo na equação
:
Então, o vetor zero está em
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se
é fechado sob adição. Isso significa que se pegarmos dois vetores quaisquer de
e os somarmos, o resultado também deve estar em
.
Sejam
e
em
. Então:
Somando
e
:
Substituindo as expressões de
e
:
Portanto, o terceiro componente de
satisfaz a equação
, logo
.
Passo 4
Por fim, vamos verificar se
é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que se pegarmos qualquer vetor de
e multiplicarmos por um escalar
, o resultado também deve estar em
.
Seja
em
e
um escalar. Então:
Multiplicando
por
:
Substituindo na equação:
Isso mostra que o terceiro componente de
também satisfaz
, logo
.
Resposta
O conjunto
é um subespaço vetorial de
.