Considere S1 e S2 subconjuntos de R^3. Verifique quais são seus subespaços vetoriais
S1=(x, y, z) mid z=2 x-y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para verificar se os conjuntos S1 e S2 são subespaços vetoriais de R^3 . Hoje vamos focar no S1 = (x, y, z) mid z = 2x - y . Para resolver isso, precisamos lembrar o que define um subespaço vetorial: ele precisa conter o vetor zero, ser fechado sob adição e sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está em S1 . O vetor zero em R^3 é (0, 0, 0) . Substituindo na equação z = 2x - y :
0 = 2(0) - 0
0 = 0
Então, o vetor zero está em S1 .

Passo 3

Agora, vamos verificar se S1 é fechado sob adição. Isso significa que se pegarmos dois vetores quaisquer de S1 e os somarmos, o resultado também deve estar em S1 .
Sejam u = (x1, y1, z1) e v = (x2, y2, z2) em S1 . Então:
z1 = 2x1 - y1
z2 = 2x2 - y2
Somando u e v :
u + v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)
Substituindo as expressões de z1 e z2 :
z1 + z2 = (2x1 - y1) + (2x2 - y2)
z1 + z2 = 2(x1 + x2) - (y1 + y2)
Portanto, o terceiro componente de u + v satisfaz a equação z = 2x - y , logo u + v in S1 .

Passo 4

Por fim, vamos verificar se S1 é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que se pegarmos qualquer vetor de S1 e multiplicarmos por um escalar c , o resultado também deve estar em S1 .
Seja u = (x, y, z) em S1 e c um escalar. Então:
z = 2x - y
Multiplicando u por c :
cu = (cx, cy, cz)
Substituindo na equação:
cz = c(2x - y)
cz = 2(cx) - (cy)
Isso mostra que o terceiro componente de cu também satisfaz z = 2x - y , logo cu in S1 .

Resposta

O conjunto S1 = (x, y, z) mid z = 2x - y é um subespaço vetorial de R^3 .

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