Em engenharia estrutural curvas hiperbólicas são frequentemente usadas no design de pontes suspensas, estruturas de torres e até na modelagem de forças em arco de sustentação. Suponha que a equação de uma estrutura metálica em forma de hipérbole seja dada por: (X+3)^wed>= 2) / 4-(Y-1)^wed>= 2) / 5=1
Encontre as coordenadas do vértice da hipérbole que representam os pontos mais próximos ao centro

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente está lidando com geometria analítica, especificamente com hipérboles. O que precisamos fazer é encontrar as coordenadas dos vértices da hipérbole dada, que são os pontos mais próximos ao centro da curva.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a forma geral da equação da hipérbole que temos:
(X + 3)^24 - (Y - 1)^25 = 1
Essa equação está na forma padrão de uma hipérbole centralizada em (h, k):
(X - h)^2a^2 - (Y - k)^2b^2 = 1
Comparando as duas, vemos que:
  • h = -3
  • k = 1
  • a^2 = 4 então a = 2
  • b^2 = 5 então b approx 2,24

Passo 3

Sabendo que a representa a distância do centro aos vértices ao longo do eixo principal da hipérbole, e como o termo com X está positivo, a hipérbole abre na direção horizontal (para os lados direito e esquerdo).

Passo 4

O centro da hipérbole está em (h, k) = (-3, 1). Para encontrar os vértices, adicionamos e subtraímos a na coordenada X:
V1 = (h + a, k) = (-3 + 2, 1) = (-1, 1)
V2 = (h - a, k) = (-3 - 2, 1) = (-5, 1)

Resposta

Os vértices da hipérbole estão nas coordenadas (-1, 1) e (-5, 1).

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