Em engenharia estrutural curvas hiperbólicas são frequentemente usadas no design de pontes suspensas, estruturas de torres e até na modelagem de forças em arco de sustentação. Suponha que a equação de uma estrutura metálica em forma de hipérbole seja dada por: (X+3)^wed>= 2) / 4-(Y-1)^wed>= 2) / 5=1
Determinar o centro, o eixo da hipérbole e a orientação da curva

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de engenharia estrutural envolvendo uma hipérbole. A equação dada é:
(X+3)^24 - (Y-1)^25 = 1
O que a gente precisa descobrir aqui é o centro da hipérbole, os eixos (ou seja, as direções principais) e como a curva está orientada.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o centro da hipérbole. A equação geral de uma hipérbole é:
(X - h)^2a^2 - (Y - k)^2b^2 = 1
Onde (h, k) é o centro. Comparando com a nossa equação:
(X+3)^24 - (Y-1)^25 = 1
Vemos que h = -3 e k = 1. Portanto, o centro da hipérbole é (-3, 1).

Passo 3

Agora, vamos identificar os eixos da hipérbole. Na equação geral, a é a distância do centro até os vértices na direção do eixo principal, e b está relacionado à distância na direção do eixo secundário.
Na nossa equação:
a^2 = 4 Rightarrow a = 2
b^2 = 5 Rightarrow b = raiz5
Então, o eixo principal tem comprimento 2a = 4 e o eixo secundário tem comprimento 2b = 2raiz5.

Passo 4

Vamos ver a orientação da hipérbole. Se o termo positivo estiver com (X - h)^2, a hipérbole está aberta para os lados esquerdo e direito. Se estivesse com (Y - k)^2, estaria aberta para cima e para baixo.
Na nossa equação, o termo positivo é (X+3)^2, então a hipérbole está aberta para os lados esquerdo e direito.

Resposta

Resumindo, a hipérbole tem:
  • Centro em (-3, 1)
  • Eixos com comprimentos 4 (eixo principal) e 2raiz5 (eixo secundário)
  • Orientação aberta para os lados esquerdo e direito.

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