Considere
e
subconjuntos de
. Verifique quais são seus subespaços vetoriais
Passo 1
Então, temos o conjunto
que é um subconjunto de
. Nosso objetivo aqui é verificar se
é um subespaço vetorial. Para isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e quais condições ele deve satisfazer.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto
de
é um subespaço vetorial se ele satisfaz três condições básicas:
- Contém o vetor zero: O vetor
deve estar em . - Fechado pela adição: Se
e estão em , então também deve estar em . - Fechado pela multiplicação por escalar: Se
está em e é um número real, então também deve estar em .
Vamos verificar essas condições para
.
Passo 3
Primeiro, vamos verificar se o vetor zero pertence a
. O vetor zero em
é
.
Substituindo na definição de
:
- Para
: → , o que não é verdade. - Para
: , isso está ok.
Como a primeira condição não é satisfeita (
para o vetor zero), já podemos concluir que
não contém o vetor zero.
Passo 4
Já que
não contém o vetor zero, ele não satisfaz a primeira condição para ser um subespaço vetorial. Não precisamos verificar as outras condições (adição e multiplicação por escalar) porque todas as três devem ser verdadeiras para que
seja um subespaço vetorial.
Resposta
Portanto,
não é um subespaço vetorial de
porque não contém o vetor zero.