Considere S1 e S2 subconjuntos de R^3. Verifique quais são seus subespaços vetoriais
S2=(x, y, z) mid y=x+2 e z=0

Passo 1

Então, temos o conjunto S2 = (x, y, z) mid y = x + 2 e z = 0 que é um subconjunto de R^3 . Nosso objetivo aqui é verificar se S2 é um subespaço vetorial. Para isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e quais condições ele deve satisfazer.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto S de R^n é um subespaço vetorial se ele satisfaz três condições básicas:
  1. Contém o vetor zero: O vetor (0, 0, dots, 0) deve estar em S .
  2. Fechado pela adição: Se u e v estão em S , então u + v também deve estar em S .
  3. Fechado pela multiplicação por escalar: Se u está em S e c é um número real, então c cdot u também deve estar em S .
Vamos verificar essas condições para S2 .

Passo 3

Primeiro, vamos verificar se o vetor zero pertence a S2 . O vetor zero em R^3 é (0, 0, 0) .
Substituindo na definição de S2 :
  • Para y = x + 2 : 0 = 0 + 2 0 = 2 , o que não é verdade.
  • Para z = 0 : 0 = 0 , isso está ok.
Como a primeira condição não é satisfeita ( y neq x + 2 para o vetor zero), já podemos concluir que S2 não contém o vetor zero.

Passo 4

Já que S2 não contém o vetor zero, ele não satisfaz a primeira condição para ser um subespaço vetorial. Não precisamos verificar as outras condições (adição e multiplicação por escalar) porque todas as três devem ser verdadeiras para que S2 seja um subespaço vetorial.

Resposta

Portanto, S2 não é um subespaço vetorial de R^3 porque não contém o vetor zero.

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