Considere o subespaço
Determine uma base para
.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um subespaço
definido por vetores da forma
, onde
são números reais. O objetivo aqui é encontrar uma base para esse subespaço
. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como combinação linear e independência linear.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como esses vetores são formados. Cada componente do vetor depende dos parâmetros
. Vamos reescrever o vetor de forma que fique claro como cada parâmetro contribui:
Isso quer dizer que qualquer vetor em
pode ser construído variando os valores de
.
Passo 3
Agora, vamos expressar esse vetor como uma combinação linear dos parâmetros
. Ou seja, vamos separar cada parâmetro multiplicando um vetor correspondente:
Aqui, cada vetor dentro dos parênteses é multiplicado por um dos parâmetros
.
Passo 4
O próximo passo é verificar se esses vetores são linearmente independentes. Isso significa que nenhum vetor da lista pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Se forem independentes, eles formam uma base para
.
Vamos listar os vetores:
Observando esses vetores, percebemos que nenhum deles pode ser obtido combinando os outros três. Por exemplo, não há como obter
usando apenas
, e assim por diante.
Passo 5
Finalmente, como temos quatro vetores que são linearmente independentes, mas percebemos que há relações entre eles que podem reduzir o número na base. Observando mais de perto, notamos que:
-
pode ser necessário para capturar a dimensão completa do subespaço. - No entanto, se tentarmos reduzir, percebemos que há redundância.
Após análise, concluímos que apenas três vetores são suficientes para formar uma base, já que o sistema não precisa de todos os quatro para descrever todas as combinações possíveis.
Resposta
Uma base para
é formada pelos vetores: