Faça a identificação entre as quádricas e suas equações, preenchendo com a letra correspondente a lacuna à esquerda de cada quádrica.
a) x^2+y^2+z^2=8 ( )Parabolóide Elíptico
b) -x^2+2 y^2+3 z^2=-8 ( )Hiperbolóide de 1 folha
c) 9 x^2-y+z^2=0 ( )Hiperbolóide de 2 folhas
d) x^2-raiz3 y^2+8 z^2=1 ( ) Elipsóide

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício de quádricas juntos. A questão pede para a gente identificar que tipo de quádricas são as equações fornecidas e associar cada uma com a descrição correta. Vamos precisar entender os diferentes tipos de superfícies quádricas, como elipsóides, hiperbolóides e parabolóides, e ver como cada equação se encaixa nesses tipos.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a equação a):
a) x^2 + y^2 + z^2 = 8 ( ) Parabolóide Elíptico
Essa equação tem todos os termos quadráticos positivos e o mesmo coeficiente para x^2 , y^2 e z^2 . Quando isso acontece, estamos lidando com um Elipsóide, que é uma espécie de esfera alongada. Isso não é um Parabolóide, então a alternativa está incorreta.

Passo 3

Agora, a equação b):
b) -x^2 + 2 y^2 + 3 z^2 = -8 ( ) Hiperbolóide de 1 folha
Aqui, temos termos quadráticos com sinais diferentes. Especificamente, apenas um dos termos tem sinal negativo. Isso caracteriza um Elipsóide Hiperbólico. No entanto, o Hiperbolóide de 1 folha geralmente tem apenas dois termos positivos e um negativo, mas o lado direito da equação deveria ser positivo. Vamos reescrever a equação dividindo todos os termos por -1:
x^2 - 2 y^2 - 3 z^2 = 8
Agora, fica claro que é um Hiperbolóide de 2 folhas, já que há dois sinais negativos.

Passo 4

Vamos para a equação c):
c) 9 x^2 - y + z^2 = 0 ( ) Hiperbolóide de 2 folhas
Essa equação tem um termo linear (-y) e termos quadráticos positivos e negativos. Para identificar melhor, podemos rearranjar:
9 x^2 + z^2 = y
Isso se parece mais com um Parabolóide Elíptico, que tem uma variável isolada e outros termos quadráticos. Portanto, essa equação representa um Parabolóide Elíptico.

Passo 5

Por fim, a equação d):
d) x^2 - raiz3 y^2 + 8 z^2 = 1 ( ) Elipsóide
Temos aqui dois termos quadráticos positivos e um negativo, com o lado direito sendo positivo. Isso caracteriza um Hiperbolóide de 1 folha.

Resposta

a) Elipsóide
b) Hiperbolóide de 2 folhas
c) Parabolóide Elíptico
d) Hiperbolóide de 1 folha

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