Verifique se o conjunto R^2 com as seguintes operações é um espaço vetorial
A adição definida por (x1, y1)+(x2, y2)=(y1+y2, x1+x2) e a multiplicação usual.

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se o conjunto R^2, ou seja, o plano cartesiano com todos os pares de números reais, forma um espaço vetorial com uma forma especial de adição e a multiplicação usual por escalar. Para resolver isso, vamos precisar entender os axiomas de um espaço vetorial e ver se essas operações que nos deram cumprem todas essas regras.

Passo 2

Primeiro, o que é um espaço vetorial? É um conjunto de vetores que, além de confirmar às operações de adição e multiplicação por escalares, precisa seguir algumas regras chamadas axiomas. São eles:
  1. Fechamento na adição: A soma de dois vetores está dentro do conjunto.
  2. Comutatividade da adição: A + B = B + A.
  3. Existência do elemento neutro (zero vetor): Existe um vetor que, quando somado a qualquer vetor, não muda esse vetor.
  4. Existência do inverso aditivo: Para todo vetor, existe outro que soma ao zero vetor.
  5. Fechamento na multiplicação por escalar: Multiplicar um vetor por um número real dá outro vetor no conjunto.
  6. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição vetorial.
  7. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição dos escalares.
  8. Compatibilidade da multiplicação por escalares.
  9. Multiplicação por escalar 1: Multiplicar por 1 não muda o vetor.
Nosso objetivo é verificar se todas essas regras são satisfeitas com as operações dadas.

Passo 3

Vamos começar verificando o elemento neutro. Precisamos encontrar um vetor [(a, b)) que, quando somado a qualquer vetor , retorna . Ou seja:
Isso nos dá o sistema de equações:
Vamos resolver isso. Da segunda equação, e , o que significa que e não podem ser constantes para todos os vetores . Isso implica que não existe um elemento neutro que funcione para todo .

Passo 4

Como não encontramos um elemento neutro, já podemos concluir que R^2 com essa definição de adição não é um espaço vetorial. Não precisamos verificar os outros axiomas, pois a ausência do elemento neutro já quebra as regras necessárias para ser um espaço vetorial.

Resposta

R^2 com a adição definida por (x1, y1)+(x2, y2)=(y1+y2, x1+x2) e a multiplicação usual não é um espaço vetorial, pois não satisfaz o axioma da existência do elemento neutro.

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