Verifique se o conjunto
com as seguintes operações é um espaço vetorial
A adição definida por
e a multiplicação usual.
A adição definida por
Passo 1
Então, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se o conjunto
, ou seja, o plano cartesiano com todos os pares de números reais, forma um espaço vetorial com uma forma especial de adição e a multiplicação usual por escalar. Para resolver isso, vamos precisar entender os axiomas de um espaço vetorial e ver se essas operações que nos deram cumprem todas essas regras.
Passo 2
Primeiro, o que é um espaço vetorial? É um conjunto de vetores que, além de confirmar às operações de adição e multiplicação por escalares, precisa seguir algumas regras chamadas axiomas. São eles:
- Fechamento na adição: A soma de dois vetores está dentro do conjunto.
- Comutatividade da adição: A + B = B + A.
- Existência do elemento neutro (zero vetor): Existe um vetor que, quando somado a qualquer vetor, não muda esse vetor.
- Existência do inverso aditivo: Para todo vetor, existe outro que soma ao zero vetor.
- Fechamento na multiplicação por escalar: Multiplicar um vetor por um número real dá outro vetor no conjunto.
- Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição vetorial.
- Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição dos escalares.
- Compatibilidade da multiplicação por escalares.
- Multiplicação por escalar 1: Multiplicar por 1 não muda o vetor.
Nosso objetivo é verificar se todas essas regras são satisfeitas com as operações dadas.
Passo 3
Vamos começar verificando o elemento neutro. Precisamos encontrar um vetor [(a, b)) que, quando somado a qualquer vetor
, retorna
. Ou seja:
Isso nos dá o sistema de equações:
Vamos resolver isso. Da segunda equação, e
, o que significa que
e
não podem ser constantes para todos os vetores
. Isso implica que não existe um elemento neutro que funcione para todo
.
Passo 4
Como não encontramos um elemento neutro, já podemos concluir que
com essa definição de adição não é um espaço vetorial. Não precisamos verificar os outros axiomas, pois a ausência do elemento neutro já quebra as regras necessárias para ser um espaço vetorial.