Mostre que o conjunto W=(x, y, z, w) mid 2 x+y-t=0 e z=0 é um subespaço de R^4.

Passo 1

O enunciado define
W = (x,y,z,w)inR^4 mid 2x + y - w = 0 e z=0
e pede para mostrar que W é um subespaço de R^4.
Conteúdo: para provar que um subconjunto é subespaço vetorial, basta checar que
  1. o vetor zero pertence a W,
  2. W é fechado sob soma,
  3. W é fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Verificamos que o vetor zero (0,0,0,0) está em W.
Como
2cdot0 + 0 - 0 = 0 e 0 = 0,
ambas as condições são satisfeitas, logo (0,0,0,0)in W.

Passo 3

Fechamento sob soma.
Sejam
u=(x1,y1,0,w1)in W e v=(x2,y2,0,w2)in W
Como u,vin W temos
2x1 + y1 - w1 = 0 e 2x2 + y2 - w2 = 0
Então
u+v = (x1+x2,;y1+y2,;0+0,;w1+w2)
Verificamos a primeira condição em bloco:
2(x1+x2)+(y1+y2)-(w1+w2) = (2x1+y1-w1)+(2x2+y2-w2) = 0+0 =0
E a segunda condição é 0+0=0. Logo u+vin W.

Passo 4

Fechamento sob multiplicação escalar.
Tome alphainR e
u=(x1,y1,0,w1)in W com 2x1+y1-w1=0
Então
alpha u = (alpha x1,;alpha y1,;0,;alpha w1),
e em bloco
2(alpha x1)+(alpha y1)-(alpha w1) = alphal(2x1+y1-w1r) = alphacdot0 =0,
além de z=0 continuar valendo. Logo alpha uin W.

Resposta

W é subespaço vetorial de R^4.

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