Considere S o subespaço de M2 times 2(R) descrito por
S=[cc a-b & 2 a a+b & -b ]: a, b in R
Encontre um valor para k de forma que o vetor [rr-4 & k 2 & -3] pertença a S.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre subespaços de matrizes 2x2 e nos pede para encontrar um valor de k que faz com que uma matriz específica pertença a esse subespaço. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como igualdade de matrizes e resolução de sistemas de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma matriz pertencer ao subespaço S . A subespaço S é definido por todas as matrizes 2 times 2 da forma:
S = a - b & 2a a + b & -b : a, b in R
Isso quer dizer que qualquer matriz em S pode ser escrita dessa forma para algum valor real de a e b .

Passo 3

A matriz que queremos verificar se está em S é:
-4 & k 2 & -3
Para essa matriz pertencer a S , deve existir valores de a e b que façam todas as entradas das duas matrizes serem iguais. Vamos igualar os elementos correspondentes:
a - b = -4 2a = k a + b = 2 -b = -3

Passo 4

Vamos resolver esse sistema de equações passo a passo. Começando pela última equação:
-b = -3 implies b = 3
Agora que sabemos que b = 3 , substituímos esse valor na segunda equação:
a + b = 2 implies a + 3 = 2 implies a = 2 - 3 implies a = -1

Passo 5

Com os valores de a e b encontrados, podemos determinar o valor de k usando a segunda equação do sistema:
2a = k implies 2 times (-1) = k implies k = -2

Resposta

O valor de k que faz a matriz -4 & k 2 & -3 pertencer ao subespaço S é k = -2 .

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