Sejam W1 e W2 subespaços vetoriais de M2 times 2(R) dados por
W1 =[lla & b c & d]: a=d e b=c,
W2 =[lla & b c & d]: a=c e b=d.
Determine W1 cap W2 e exiba uma base.

Passo 1

O enunciado trata de dois subespaços vetoriais de M2times2(R), definidos por condições lineares sobre as entradas de uma matriz genérica. O conteúdo é interseção de subespaços em álgebra linear. O que precisamos achar é
W1 cap W2
e exibir uma base desse espaço.

Passo 2

Seja uma matriz genérica
M=a & b c & dinM2times2(R)
Para Min W1 é exigido
a=d e b=c

Passo 3

Para Min W2 é exigido
a=c e b=d
Combinando as quatro igualdades
a=d, b=c, a=c, b=d,
segue que
a=b=c=d
Logo existe um único parâmetro tinR tal que
M=t & t t & t

Passo 4

Concluímos que todo elemento de W1cap W2 é da forma
t1 & 1 1 & 1, tinR,
ou seja,
W1cap W2=l,tJmid tinRr, J=1 & 1 1 & 1
Dessa forma, J é uma base de W1cap W2.

Resposta

W1cap W2=lt1 & 1 1 & 1mid tinRr
Uma base de W1cap W2 é
1 & 1 1 & 1

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