Seja T: R^2 R^2, uma aplicação dada por T(x, y)=(2 x,-x, y). Mostre que T é uma transformação linear.

Passo 1

O enunciado define a aplicação
;T:R^2toR^3
por
T(x,y) = (2x,,-x,,y)
O conteúdo é Transformações Lineares: para mostrar que T é linear, precisamos verificar duas propriedades:
  1. T(u+v)=T(u)+T(v) para todo u,vinR^2.
  2. T(lambda u)=lambda,T(u) para todo lambdainR e uinR^2.

Passo 2

Sejam u=(x1,y1) e v=(x2,y2). Então
u+v = (x1+x2,;y1+y2),
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T(u+v) = T(x1+x2,;y1+y2) = l(2(x1+x2),;-(x1+x2),;y1+y2r) = (2x1+2x2,;-x1-x2,;y1+y2)
Por outro lado,
T(u) + T(v) = (2x1,,-x1,,y1) + (2x2,,-x2,,y2) = (2x1+2x2,;-x1-x2,,y1+y2)
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T(u+v) = T(u) + T(v)

Passo 3

Para lambdainR e u=(x1,y1), temos
lambda u=(lambda x1,;lambda y1) e
T(lambda u) = T(lambda x1,;lambda y1) = l(2lambda x1,;-lambda x1,;lambda y1r) = lambda,(2x1,,-x1,,y1) = lambda,T(u)
Assim
T(lambda u) = lambda,T(u)

Passo 4

Como T preserva soma e multiplicação por escalar, concluímos que T é uma transformação linear.

Resposta

A aplicação T é linear.

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