Verifique se os seguintes conjuntos são L.I. ou L.D.
S=(-1,1,0),(0,1,-2),(-2,3,1) subset R^3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se o conjunto S = , (-1,1,0), (0,1,-2), (-2,3,1) , é Linearmente Independente (L.I.) ou Linearmente Dependente (L.D.) no espaço R^3. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como determinante de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um conjunto ser Linearmente Independente ou Dependente. Um conjunto de vetores é Linearmente Independente se nenhum vetor pode ser escrito como combinação linear dos outros. Se isso não for possível, eles são Dependentes.

Passo 3

Para verificar isso, vamos montar uma matriz onde cada coluna é um dos vetores do conjunto S :
A = -1 & 0 & -2 1 & 1 & 3 0 & -2 & 1

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero ( det(A) neq 0 ), os vetores são Linearmente Independentes. Se for zero ( det(A) = 0 ), são Dependentes.

Passo 5

Vamos calcular o determinante passo a passo:
det(A) = -1 cdot 1 & 3 -2 & 1 - 0 cdot 1 & 3 0 & 1 + (-2) cdot 1 & 1 0 & -2
Calculando os menores:
1 & 3 -2 & 1 = (1)(1) - (3)(-2) = 1 + 6 = 7
1 & 1 0 & -2 = (1)(-2) - (1)(0) = -2 - 0 = -2
Substituindo de volta:
det(A) = -1 cdot 7 - 0 cdot (qualquer valor) + (-2) cdot (-2) = -7 + 0 + 4 = -3

Passo 6

O determinante é -3, que é diferente de zero. Isso significa que os vetores não são combinação linear uns dos outros.

Resposta

O conjunto S é Linearmente Independente (L.I.).

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