Verifique se os seguintes conjuntos são L.I. ou L.D.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se o conjunto é linearmente independente (L.I.) ou dependente (L.D.) dentro do espaço das polinômios de grau no máximo 2, que é . Para resolver isso, vamos usar conceitos de combinação linear e resolver um sistema de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa ser linearmente independente. Um conjunto de vetores (ou funções, nesse caso) é linearmente independente se a única solução para a combinação linear que resulta no vetor zero é quando todos os coeficientes são zero. Ou seja, se , então necessariamente .
Passo 3
Vamos montar essa combinação linear e igualar a zero:
Agora, vamos distribuir os coeficientes:
Passo 4
Vamos agrupar os termos semelhantes:
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero. Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Passo 5
Vamos resolver esse sistema passo a passo. Da primeira equação, temos:
c3 = c2
Substituindo c3 por c2 na segunda equação:
2c1 + c2 + 2c2 = 0 2c1 + 3c2 = 0
Observamos que isso é igual à terceira equação:
2c1 + 3c2 = 0
Isso significa que temos apenas duas equações distintas:
c3 = c2 2c1 + 3c2 = 0
Passo 6
Vamos expressar c1 em função de c2 a partir da segunda equação:
2c1 = -3c2 c1 = -32c2
Isso mostra que, além da solução trivial c1 = c2 = c3 = 0 , existem outras soluções não triviais, dependendo do valor de c2 .
Passo 7
Como encontramos soluções diferentes de zero para os coeficientes c1, c2, c3 , isso significa que existe uma combinação linear não trivial que resulta no vetor zero. Portanto, o conjunto S é linearmente dependente.