Verifique se os seguintes conjuntos são L.I. ou L.D.
S=2 x+2,-x^2+x+3, x^2+2 x subset P2(R)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se o conjunto S = 2x + 2, -x^2 + x + 3, x^2 + 2x é linearmente independente (L.I.) ou dependente (L.D.) dentro do espaço das polinômios de grau no máximo 2, que é P2(R) . Para resolver isso, vamos usar conceitos de combinação linear e resolver um sistema de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa ser linearmente independente. Um conjunto de vetores (ou funções, nesse caso) é linearmente independente se a única solução para a combinação linear que resulta no vetor zero é quando todos os coeficientes são zero. Ou seja, se c1(2x + 2) + c2(-x^2 + x + 3) + c3(x^2 + 2x) = 0 , então necessariamente c1 = c2 = c3 = 0 .

Passo 3

Vamos montar essa combinação linear e igualar a zero:
c1(2x + 2) + c2(-x^2 + x + 3) + c3(x^2 + 2x) = 0
Agora, vamos distribuir os coeficientes:
2c1x + 2c1 + (-c2x^2 + c2x + 3c2) + c3x^2 + 2c3x = 0

Passo 4

Vamos agrupar os termos semelhantes:
(-c2 + c3)x^2 + (2c1 + c2 + 2c3)x + (2c1 + 3c2) = 0
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo x , os coeficientes de cada potência de x devem ser iguais a zero. Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
-c2 + c3 = 0 2c1 + c2 + 2c3 = 0 2c1 + 3c2 = 0

Passo 5

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Da primeira equação, temos:
c3 = c2
Substituindo c3 por c2 na segunda equação:
2c1 + c2 + 2c2 = 0 2c1 + 3c2 = 0
Observamos que isso é igual à terceira equação:
2c1 + 3c2 = 0
Isso significa que temos apenas duas equações distintas:
c3 = c2 2c1 + 3c2 = 0

Passo 6

Vamos expressar c1 em função de c2 a partir da segunda equação:
2c1 = -3c2 c1 = -32c2
Isso mostra que, além da solução trivial c1 = c2 = c3 = 0 , existem outras soluções não triviais, dependendo do valor de c2 .

Passo 7

Como encontramos soluções diferentes de zero para os coeficientes c1, c2, c3 , isso significa que existe uma combinação linear não trivial que resulta no vetor zero. Portanto, o conjunto S é linearmente dependente.

Resposta

O conjunto S é linearmente dependente.

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